课时作业(二十) 椭圆及其标准方程

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1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
2．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
A．16 B．18
C．20 D．不确定
3．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
4．点P为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上位于第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则△PMO的面积的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．3 D.eq \f(3,2)
5．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
6．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，且F1(－1,0)，椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).求椭圆的方程．
[提能力]
7．(多选)设椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是( )
A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)
C．存在点P，使PF1⊥PF2
D．PF1的取值范围是[1,3]
8．已知点P(0,1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为________．
9．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
[战疑难]
10．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点O的弦，则△ABF面积的最大值为________．
课时作业(二十)
1．解析：由题意知c＝1，椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
又点P(2,0)在椭圆上，∴eq \f(4,a2)＋eq \f(0,b2)＝1，
∴a2＝4，b2＝a2－c2＝3，
故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故选A.
答案：A
2．解析：∵a＝5，b＝3，∴c＝4.
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，
∴△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B.
答案：B
3．解析：方程x2＋ky2＝2可化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1，若焦点在y轴上，则必有eq \f(2,k)>2，且k>0，即00)，因为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1≥2eq \r(\f(x2,4)·\f(y2,3))＝eq \f(xy,\r(3))，即xy≤eq \r(3)，
所以S△PMO＝eq \f(1,2)xy≤eq \f(\r(3),2)(当且仅当eq \r(3)x＝2y时取等号)，面积的最大值为eq \f(\r(3),2).
答案：A
5．解析：∵F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \(PF1,\s\up10(→))⊥eq \(PF2,\s\up10(→))，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝9，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，∴36＝4(a2－c2)＝4b2，∴b＝3.
答案：3
6．解析：已知点F2(1,0)，由椭圆的定义得
2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＋eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝4，
∴a＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).
因此，椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
7．解析：由椭圆方程可知，a＝2，b＝eq \r(3)，从而c＝eq \r(a2－b2)＝1.据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，
所以△PF1F2的周长是6，A项正确．
设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，
则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|.
因为|y0|≤eq \r(3)，则△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)，B项正确．
由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大，
此时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，
则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，
所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C项错误．
当点P为椭圆C的右顶点时，PF1取最大值，
此时|PF1|＝a＋c＝3；
当点P为椭圆C的左顶点时，PF1取最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，
所以|PF1|∈[1,3]，D项正确，
故选ABD.
答案：ABD
8．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(AP,\s\up10(→))＝2eq \(PB,\s\up10(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＝2x2，,1－y1＝2y2－1，))
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4x\\al(2,2),4)＋3－2y22＝m，,\f(x\\al(2,2),4)＋y\\al(2,2)＝m，))
得y2＝eq \f(1,4)m＋eq \f(3,4)，所以xeq \\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq \f(1,4)m2＋eq \f(5,2)m－eq \f(9,4)＝－eq \f(1,4)(m－5)2＋4≤4，
所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
答案：5,2
9．解析：如图，M是AQ的垂直平分线与CQ的交点，连接MA，
则|MQ|＝|MA|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，且|AC|＝2，
∴动点M的轨迹是椭圆，且其焦点为C，A.
易知2a＝5,2c＝2，∴a＝eq \f(5,2)，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4)，
故动点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1.
10．解析：
如图，设E为椭圆的左焦点，则S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝S△AOF＋S△AOE＝S△AEF≤beq \r(a2－b2).
答案：beq \r(a2－b2)