课时作业(二十七) 高考中的热点题型

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1．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(3),2)，A1，A2分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2，直线l过点D(1,0)且与椭圆E交于P，Q两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求△OPQ面积的最大值；
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点，|AF|＋|BF|＝8，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设Q(3,0)，若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．
[提能力]
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，△ABF2的周长为8
(1)求C的离心率及方程；
(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由．
[战疑难]
4．已知F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知P(x0，－1)为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足kPM·kPN＝－2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．
课时作业(二十七)
1．解析：(1)由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，a＝2b，
又因为S△A1BA2＝ab＝2，所以b＝1，a＝2，
故椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当PQ斜率不存在时，易知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，此时S△OPQ＝eq \f(\r(3),2).
当PQ斜率存在时，设PQ方程为：y＝k(x－1)(k≠0)，将y＝k(x－1)代入eq \f(x2,4)＋y2＝1并整理得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(8k2,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4k2－4,4k2＋1)，
所以S△OPQ＝eq \f(1,2)×1×|y1－y2|＝eq \f(1,2)×|k(x1－x2)|＝eq \f(|k|,2)eq \r(x1＋x2－4x1x2)＝eq \f(2|k|\r(3k2＋1),4k2＋1)＝eq \f(2\r(3k4＋k2),4k2＋1)，
令4k2＋1＝t(t>1)
则S△OPQ＝eq \f(2,t)eq \r(\f(3,16)t－12＋\f(1,4)t－1)＝eq \f(1,2)eq \r(－\f(1,t2)－\f(2,t)＋3)0，
所以eq \(QA,\s\up10(→))·eq \(QB,\s\up10(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝9－3(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2
＝9－3(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2
＝9－eq \f(161＋k2,4k2＋1)>0，
解得k>eq \f(\r(35),10)或k0
此时直线MN的方程为x＝m(y－1)＋eq \f(9,4)，
所以直线MN过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，1)).