课时作业(十九) 圆与圆的位置关系

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1．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
2．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( )
A．60° B．45°
C．120° D．90°
3．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为( )
A．4 B．4eq \r(2)－1
C．2eq \r(2)－2 D．2
4．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
5．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
6．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
[提能力]
7．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
8．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4关于直线l对称，则直线l的方程为________．
9．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[战疑难]
10．已知点P(3，a)，若圆O：x2＋y2＝4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是( )
A．(－3eq \r(3)，3eq \r(3))
B．[－3eq \r(3)，3eq \r(3)]
C．(－∞，－3eq \r(3))∪(3eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－3eq \r(3)]∪[3eq \r(3)，＋∞)
课时作业(十九)
1．解析：两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得eq \r(m＋22＋－1－m2)＝3＋2，解得m＝2或－5.故选C.
答案：C
2．解析：圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为r＝2.
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为r＝2.
圆心距为d＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，弦心距d′＝eq \f(d,2)＝eq \r(2).
设公共弦所对的圆心角为2θ，则
cs θ＝eq \f(d′,r)＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D.
答案：D
3．解析：∵|CC′|＝5＜8－1＝7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为8－|CC′|－1＝2.故选D.
答案：D
4．解析：以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．故选A.
答案：A
5．解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，eq \r(2)和(0，b)，1，因为两圆外离，所以eq \r(a2＋b2)＞eq \r(2)＋1，即a2＋b2＞3＋2eq \r(2).
答案：a2＋b2＞3＋2eq \r(2)
6．解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0.②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0
又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
7．解析：两圆方程相减得直线AB的方程为：a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得：2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得：2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：两圆的圆心分别为O(0,0)，C(－2,2)，由题意，知l为线段OC的垂直平分线或直线OC，故其方程为x－y＋2＝0或x＋y＝0.
答案：x－y＋2＝0或x＋y＝0
9．解析：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB，设直线l的方程为y＝x＋b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋b，,x2＋y2－2x＋4y－4＝0，))
消元得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.
设此方程两根为x1，x2，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq \f(b2＋4b－4,2).
以AB的直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝eq \f(y1y2,x1x2)＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1.
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ＞0.
∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1.
10．解析：设A(x0，y0)，PA的中点M(x，y)，
由已知有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＝4，,x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋a,2)，))解得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝1，
即PA的中点的轨迹为圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝1，
又线段PA的中点也在圆O上，∴两圆有公共点，
∴1≤ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2)≤3，解得－3eq \r(3)≤a≤3eq \r(3).故选B.
答案：B