课时作业(十七) 圆的一般方程

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1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
3．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
4．圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)、B(3，－1)的圆的一般方程是________．
5．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．
[提能力]
7．(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示圆，下列说法正确的是( )
A．圆心在直线y＝－x上 B．其圆心在x轴上
C．过原点 D．半径为eq \r(2)a
8．(多填题)M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
[战疑难]
10．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
课时作业(十七)
1．解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1.故选B.
答案：B
2．解析：由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－eq \f(E,2)＝－eq \f(D,2)，即D＝E.故选B.
答案：B
3．解析：由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为eq \r(2)，所以点P在以(1,0)为圆心，以eq \r(2)为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B.
答案：B
4．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，由题意知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＝－\f(E,2)，,2－D＋E＋F＝0，,10＋3D－E＋F＝0，))
解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
答案：x2＋y2－4x－4y－2＝0.
5．解析：设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即eq \r(x－12＋y＋12)＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
6．解析：圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝2.))
又∵圆心在第二象限，∴－eq \f(D,2)＜0，即D＞0.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4.))
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
7．解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为eq \r(2)|a|，故AC正确．
答案：AC
8．解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝eq \f(1－0,4－3)＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.
答案：x－y－3＝0 x＋y－3＝0
9．解析：(1)已知方程可化为
(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－eq \f(1,7)即t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)，1)).
(2)r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7)).
当t＝eq \f(3,7)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)，1))时，rmax＝eq \f(4,7)eq \r(7)，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(24,7)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(13,49)))2＝eq \f(16,7).
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，化简得8t2－6t<0，
即010．解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，ab的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))，故选A.
答案：A