课时作业(十五) 点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离

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1．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A.eq \r(7) B.eq \r(6)
C．2eq \r(2) D.eq \r(5)
2．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
3．点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)则( )
A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10
C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5
4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A.eq \f(4\r(2),3) B.eq \f(8\r(2),3)
C．4eq \r(2) D．2eq \r(2)
5．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
6．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
[提能力]
7．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可以为( )
A.eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)
8．(多填题)点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，则d＝________，a＝________.
9．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
[战疑难]
10．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．则(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是________．
课时作业(十五)
1．解析：由题意知|OP|最小即OP⊥l，∴|OP|min＝eq \f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq \r(2).故选C.
答案：C
2．解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1.))∴两直线交点为(0,1)，由于交点到原点的距离为1，故所求直线只有1条．故选B.
答案：B
3．解析：因为点M，P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知n＝eq \f(4＋6,2)＝5，－3＝eq \f(m－9,2)，∴m＝3.故选D.
答案：D
4．解析：∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa－2－3＝0，,2a－6a－2≠0，))解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq \f(2,3)＝0，∴l1，l2间的距离是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq \f(8\r(2),3).故选B.
答案：B
5．解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝eq \f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，
∴|PQ|min＝3.
答案：3
6．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为eq \f(y,2－0)＝eq \f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得
|BC|＝eq \r(－3－12＋0－22)＝2eq \r(5)，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝eq \f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋－22))＝eq \f(4\r(5),5)，
所以S＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝4，
即△ABC的面积为4.
7．解析：由点到直线的距离公式可得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－eq \f(7,9)或－eq \f(1,3).故选BD.
答案：BD
8．解析：直线恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
答案：5,1
9．解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b＞1)，
则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，
∴|AD|＝eq \r(2)，|BC|＝eq \r(2)b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝eq \f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq \f(|b－1|,\r(2))＝eq \f(b－1,\r(2))(b＞1)，
由梯形面积公式得eq \f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq \f(b－1,\r(2))＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b＞1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
10．解析：由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，
设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝eq \r(a＋22＋b＋22).
于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值eq \r(－2－12＋－2－02)＝eq \r(13)，当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则点Q到直线AB的距离d＝eq \f(|－2－2－1|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)
∴eq \f(25,2)≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(25,2)，13))