广东省梅州市丰顺县潭江中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

2022-2023学年度第二学期梅州市丰顺县潭江中学九年级数学开学测试题

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（　　）

A．和 B．和 C．和 D．和

2．已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） 

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数与实数b的取值有关

3．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） 

A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0

4．下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆.其中真命题有（　　）  

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数为偶数.下列说法正确的是（　　）

A．事件A、B都是随机事件

B．事件A、B都是必然事件

C．事件A是随机事件，事件B是必然事件

D．事件A是必然事件，事件B是随机事件

6．若将抛物线y＝x2－2x＋1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是(　　)

A．(0，2 ) B．(0，－2) C．(1，2) D．(－1，2)

7．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到 ．此时恰好点C在 上， 交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　） 

A． B． C． D．

8．关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　）  

A．图象的对称轴在 轴的右侧

B．图象与 轴的交点坐标为

C．图象与 轴的交点坐标为 和

D． 的最小值为－9

9．若四边形A鱿O的对角线AC,BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3,4,6，则△DOA的内切圆半径是（　　)  

A． B．

C． D．以上答案均不正确

10．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（　　）

A．55° B．45° C．35° D．25°

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．方程x2＝1的解是　     　．  

12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为　     　.

13．二次函数y=3x2﹣6x﹣3图像的对称轴是　        　． 

14．用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数)，则 =　     　

15．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　     　．

16．有5张正面分别写有数字，，2，3，4的卡片，5张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，不放回再抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的数字，能使一次函数的图象经过第一、二、三象限的概率为　     　.

17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转角时（0°＜＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时， 的值为　                 　．

三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。

18．   

（1）

（2）

19．解方程：2x2﹣4x+1=0．

20．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．

（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；

（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．

21．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．

（1）若PA=4，求△PED的周长；

（2）若∠P=40°，求∠AFB的度数．

22．在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C．

（1）写出C点的坐标；

（2）求△ABC的面积．

23．如图，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；
（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结PA，PF，AF．

（1）求该抛物线所对应的函数表达式；

（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；

（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α．

（1）用含α的代数式表示∠BFD．

（2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG．

（3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径，的长为2时，求的长．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】D

9．【答案】A

10．【答案】D

11．【答案】±1

12．【答案】13

13．【答案】直线x=1

14．【答案】1

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】50°或65°或80°

18．【答案】（1）解：

（2）解：

19．【答案】解：由原方程，得

x2﹣2x=﹣，

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得

x2﹣2x+1=，

配方，得

（x﹣1）2=，

直接开平方，得

x﹣1=±，

x1=1+，x2=1﹣．

20．【答案】解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，

∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．

21．【答案】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，

∴DC=DA，

同理EC=EB，

∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B

∴PA=PB，

∴三角形PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+BE=PA+PB=2PA=8，

即三角形PDE的周长是8；

（2）连接AB，

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA，

∵∠P=40°，

∴∠PAB=∠PBA=（180﹣40）=70°，

∵BF⊥PB，BF为圆直径

∴∠ABF=∠PBF=90°﹣70°=20°

∴∠AFB=90°﹣20°=70°．

答：（1）若PA=4，△PED的周长为8；

（2）若∠P=40°，∠AFB的度数为70°．

22．【答案】解：（1）B（2，3）关于原点对称点为C（﹣2，﹣3）；

（2）∵S△AOB= =，

S△AOC==，

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC=9．

23．【答案】（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条；
（2）作EQ∥FP交FE于E，
设EC为x
∵EH⊥AC，
∴∠EHC=90°
∴△CHE为直角三角形
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°
在Rt△CHE中，∠CHE=90°，∠C=60°，
∠HEC=180°﹣∠C﹣∠EHC=30°
∴2HC=EC
∵HE2=EC2﹣HC2
∴，
∵EF∥AC，FP∥EQ
∴四边形EFPQ为平行四边形
∴PQ=FE
又∵PE=BE
∴PQ=EF=BE=4﹣x
∴；

（3）因为，所以当x＝2时，平行四边形EFPQ的面积最大．此时E、F、P分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图）．

过点E点作ED⊥FP于D，则ED＝EH＝．
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜；
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r＝；
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，＜r＜2；
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r＝2；
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r＞2．

24．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），

∴

解得：

∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3.

（2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，

设直线AF的解析式为y＝kx+d，

∵A（3，0），F（0，﹣4），

∴，     解得：，

∴直线AF的解析式为y＝x﹣4，

设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），

∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2+t+7，

∴S△AFP＝PQ·OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，

∵＜0，﹣1＜t＜3，

∴当t＝时，△AFP面积的最大值为；

（3）解：设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），

∵A（3，0），

∴OA＝3，OF＝|n|，

①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，

则∠ADP＝90°＝∠AOF，

∴∠PAD+∠APD＝90°，

∵∠PAD+∠FAO＝90°，

∴∠APD＝∠FAO，

在△APD和△FAO中，

∴△APD≌△FAO（AAS），

∴PD＝OA，AD＝OF，

∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，

∴﹣m2+2m+3＝3，

解得：m＝0或2，

当m＝0时，P（0，3），AD＝3，

∴OF＝3，即|n|＝3，

∵点F在y的负半轴上，

∴n＝﹣3，

∴F（0，﹣3）；

当m＝2时，P（2，3），AD＝1，

∴OF＝1，即|n|＝1，

∵点F在y的负半轴上，

∴n＝﹣1，

∴F（0，﹣1）；

②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，

则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，

∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，

∴四边形PDOG是矩形，

∴∠FPG+∠FPD＝90°，

∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，

∴∠FPG＝∠APD，

在△FPG和△APD中，

，

∴△FPG≌△APD（AAS），

∴PG＝PD，FG＝AD，

∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，

∴﹣m2+2m+3＝m，

解得：m＝（舍去）或m＝，

当m＝时，P（，），

∴FG＝AD＝3﹣m＝3﹣＝，

∴F（0，﹣2）；

综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，﹣2）．

25．【答案】（1）解：∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α①，

又∵∠AFB+∠BFD＝180°②，

②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，

∴∠BFD＝90°﹣

（2）证明：由（1）得∠BFD＝90°﹣，

∵∠ADB＝∠ACB＝α，

∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣，

∴∠FBD＝∠BFD，

∴DB＝DF，

∵FG∥AC，

∴∠CAD＝∠DFG，

∵∠CAD＝∠DBE，

∴∠DFG＝∠DBE，

在△BDE和△FDG中，

，

∴△BDE≌△FDG（SAS）

（3）解：∵△BDE≌△FDG，

∴∠FDG＝∠BDE＝α，DE＝DG，

∴∠BDG＝∠BDE+∠FDG＝2α，

∵DE＝DG，

∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣，

∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝，

∴与所对的圆心角度数之比为3：2，

∴与的长度之比为3：2，

∵＝2，

∴＝3