2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）第二次月考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）第二次月考数学试卷（3月份）

1.  若，且与也互相垂直，则实数k的值为(    )

A. 6 B.  C.  D. 3

2.  已知，，且，则与的夹角是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，，则b的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，，后，就可以计算出A，B两点的距离为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6.  如图四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D. 1

7.  复数为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为.(    )

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

8.  一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知x，，i是虚数单位．若与互为共轭复数，则(    )

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

10.  如图，平面与平面相交于BC，，，点，点，则下列叙述错误的是(    )

A. 直线AD与BC异面 B. 过AD只有唯一平面与BC平行
C. 过点D只能作唯一平面与BC垂直 D. 过AD一定能作一平面与BC垂直

11.  已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，则a与b是异面直线
B. 若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
C. 若a，b不同在平面内，则a与b是异面直线
D. 若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线

12.  已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是(    )

A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 周期为 D. 在上是增函数

13.  已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为______.

14.  如图，过正方体的顶点，与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与的位置关系为______.

15.  如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．

16.  如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得已知山高，则山高__________

17.  已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
若，求A；
若，求的最大值以及取得最大值时的值．

18.  一缉私艇在A处发现在其北偏东方向，距离12nmile的海面C处有一走私船正以的速度沿南偏东方向逃窜．缉私艇的速度为若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追上走私船所需的时间和角的正弦值．

19.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E在PC上，，
证明：平面ABE；
若M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．

20.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且
当，时，求a，c的值；
若角B为锐角，求p的取值范围．

21.  游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C；另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再从B匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，

求索道AB的长；

问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

22.  如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．
求证：平面平面BEF；
若平面，求证：H为BC的中点．

23.  已知，，
求的最小正周期及单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件，属于基础题．
由题意可得，且，解方程求得实数k的值．

【解答】

解：由题意可得，
且

即，
解得，
故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的数量积，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算．
根据向量数乘和数量积的变化得到向量的数量积，把向量的模和数量积代入夹角公式，得到向量夹角的余弦值，根据向量夹角的范围，得到向量的夹角．
【解答】
解：由得
，
又，
，
故选  

3.【答案】A 

【解析】解：由题意得，
由正弦定理得，
即，
所以
故选：
由已知先求出B，然后利用正弦定理可求．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、解三角形的实际应用．属于简单题.
依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，，的值求得
【解答】
解：在中，，
由正弦定理得，
，
故A，B两点的距离为
故选  

5.【答案】A 

【解析】解：，，，
由余弦定理，可得：，可得：，
解得：，或，舍去
故选：
由已知利用余弦定理即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由，，
又，
则，
即，
又与不共线，
则，
即，
则，
故选：
由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题.
先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得出所在的象限．

【解答】

解：，
复数在复平面内对应的点的坐标是，
它对应的点在第四象限，
故选：

8.【答案】B 

【解析】解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，
圆柱的侧面展开图是一个正方形，
，即
圆柱的侧面积为，
圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，
圆柱的表面积与侧面积的比为：，
故选：
根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．
本题主要考查圆柱的侧面积和表面积公式的计算，利用圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到高和半径之间的关系是解决本题的关键．
 

9.【答案】D 

【解析】解：由题意得，，
因为与互为共轭复数，
所以、，则，
故选：
由复数的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出x、y，可得的值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，以及共轭复数的定义的应用，属于基础题．
 

10.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线的定义，考查线面平行与垂直的应用问题，是基础题．
根据异面直线的判断定理、定义和性质，结合线面垂直与平行的判断定理，逐一分析四个选项得答案．

【解答】

解：根据异面直线的判断定理知，直线AD与BC是异面直线，故A正确；
根据异面直线的性质知，过AD只能作一个平面与BC平行，故B正确；
根据线面垂直与平行的判断定理知，过点D只能作唯一平面与BC垂直，故C正确；
根据异面直线的性质知，过AD不一定能作一个平面与BC垂直，故错误．
故选

11.【答案】D 

【解析】解：已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，
对于A：若，，则a与b是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；
对于B：若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也可能是异面直线或平行直线，故B错误；
对于C：若a，b不同在平面内，则a与b是异面直线或平行直线，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线，故D正确．
故选：
直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：异面直线的定义，直线和平面的位置关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．
 

12.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题.
利用三角恒等变换化简的解析式，根据正弦函数的性质判断.
【解答】
解：

，
当时，，
不关于直线对称，选项A错误；
当时，，
关于点对称，不关于点对称，选项B错误；
得周期，选项C错误；
当时，，
在在上是增函数，选项D正确．
故选  

13.【答案】 

【解析】解：设母线长为l，则，解得，
设圆锥的高为h，因为底面圆半径为，则，
解得，
所以圆锥的体积为
故答案为：
根据圆锥的底面圆周长是展开图的扇形弧长，求出圆锥的母线长，再求高，即可求出圆锥的体积．
本题考查了圆锥的展开图及圆锥的体积公式，重点考查了几何体的展开图，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接、，

在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，

故答案为：
连接、，由平面平面，结合面面平行的性质定理即可得
本题考查空间中线与面的平行关系，熟练掌握面面平行的性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：异面直线共5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，BP与
故答案为：
根据异面直线的定义判断即可．
本题考查了异面直线的判定，属于基础题．
 

16.【答案】750 

【解析】

【分析】

本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决高度问题，属于中档题．
根据题意求出AC，利用正弦定理求出AM，根据即可求出MN的值．

【解答】

解：在中，，，所以；
在中，，，从而，
由正弦定理得，
因此；
在中，，，
由，得
故答案为：

17.【答案】解：，
，
，
，
，可得：可得

由正弦定理，
得：，

，其中，
令锐角满足，
则，
，

当时，取得最大值1，相应取得的最大值，
此时， 

【解析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由已知可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求，利用正弦定理可得，可得，利用三角形的内角和定理可求A的值．
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的性质即可求解．
 

18.【答案】解：设经过xh后缉私艇在B处追上走私船如图所示，

据题意，得，，
在中，由余弦定理，
得，
解得舍去，，
由正弦定理，得，
所需时间为2h，角的正弦值为 

【解析】画图分析，设经过xh后缉私艇在B处追上走私船，再将三角形的各边长用关于x的式子表达，再根据余弦定理求解得，再利用正弦定理求解角的正弦值即可．
本题考查正余弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：因为底面ABCD为平行四边形，
所以，
因为平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE，
取点N，使得，即时，平面ABE，
取CE中点F，则，且，
所以，
又，
所以，
由面面平行的判定定理可得平面平面ABE，
又平面FMN，所以平面ABE，
所以 

【解析】因为底面ABCD为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理可证得结论，
根据线面平行的性质定理，取点N，使得，即时，平面ABE，
本题考查了线面平行的证明及线面平行的性质定理，属于常规题．
 

20.【答案】解：由题设并利用正弦定理得，
故可知a，c为方程的两根，
进而求得，或，
由余弦定理得，
，
即，
因为，
所以，
由题设知，所以或，
又由，知p是正数，
故即为所求，
所以p的取值范围是 

【解析】本题考查了解三角形问题，正弦定理和余弦定理，属于中档题．
利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．
先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出，进而利用的范围确定的范围，进而确定p的范围．
 

21.【答案】解：在中，因为，，
所以，，
从而

由正弦定理，
得
答：索道AB的长为

假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得：
，
因，即，
当时，最小，甲、乙两游客距离最短．
答：当时，甲、乙两游客距离最短．

由正弦定理，
得，
乙从B出发时，甲已经走了，
还需走710m才能到达
设乙步行的速度为，
由题意得，
解得，
答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在单位：范围内． 

【解析】此题考查解三角形的实际应用，属于中档题型．
根据同角三角函数的关系和两角和的正弦公式求得A，B，C的正弦值，根据正弦定理即可确定出AB的长；
设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，由余弦定理可得关于t的函数，在定义域内利用二次函数的性质求得最小值；
利用正弦定理求得BC的长度，计算甲已走的距离，设乙步行的速度为，根据各自速度求得甲乙到达C时的时间差，根据题意得到关于v的不等式，求解即得v的取值范围．
 

22.【答案】证明：如图，
，F分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又F，G分别为，AB的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
又，
平面平面BEF；
平面平面，平面平面，
平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，
则，得，
为AB的中点，为BC的中点． 

【解析】由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面BEF；
由公理3及平面与平面平行的性质得，则，由G为AB的中点，可得H为BC的中点．
本题考查平面与平面平行的判定，考查面面平行的性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 

23.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为 

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.
由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
在上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值．