2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学远志班高一（下）第一次质检数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学远志班高一（下）第一次质检数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了 直线l的方程为， 如果直线l1等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学远志班高一（下）第一次质检数学试卷1.  直线l的方程为：，则直线l的倾斜角是(    )A.  B.  C.  D. 02.  设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为(    )A.  B.  C. 1 D. 73.  如果直线：与直线：平行，则(    )A. 0 B.  C. 0或1 D. 0或4.  已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则的值为(    )A.
B.
C. 1
D. 5.  已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知在直角坐标系xOy中，点，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足，则实数m的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为(    )A.  B.  C.  D. 9.  对于空间向量，，给出下列命题，其中为真命题的是(    )A. 若，则为零向量
B. 若，则，的夹角是锐角
C. 若，，则
D. 若，，，则，，可以作为空间中的一组基底10.  在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：：：2，则下列说法正确的是(    )A.  B.  C.  D. 11.  下列说法错误的是(    )A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为12.  如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱、的中点，G为面对角线上一个动点，则(    )A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点G，使平面平面
C. 当时，直线EG与所成角的余弦值为
D. 三棱锥的外接球半径的最大值为
 13.  在x轴上找一点M，使这点到点和点的距离相等，则M的坐标为______.
 14.  已知与的夹角为，则使与的夹角为钝角的实数的取值范围是______.
 15.  在等腰直角三角形ABC中，点P是边AB异于A、B的一点．光线从点P出发，经过BC、CA反射后又回到点如图若光线QR经过的重心，且，则______.16.  如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则AC与所成角的余弦值______.
17.  已知三角形的三个顶点是，，
求BC边上的高所在直线的方程．
求BC边上中线所在直线的方程．18.  如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，
用，，表示向量；
若，且满足______从下列三个条件中任选一个，
填上序号：
①，，，；
②，，，，；
③，，，，，则可求出的值；并求出的大小．
19.  如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，求证：平面平面
20.  已知空间三点，，
若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
若，且，求点P的坐标．21.  已知直线l：
求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限；
若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点．设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．22.  已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的的二面角，点M在线段AB上．
若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC；
是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．

答案和解析 1.【答案】A 【解析】【分析】由题意可得直线l与x轴垂直，从而得到l的倾斜角．
本题考查了直线的倾斜角问题，是基础题．【解答】解：直线l的方程为，
直线l与x轴垂直，
直线l的倾斜角是，
故选：  2.【答案】C 【解析】解：设平面的法向量为，平面的法向量为，
若，则，
，
解得
故选：
若，则，利用向量平行的性质能求出
本题考查实数值的求法，考查线线平行、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况，要进行检验．
先检验当时，是否满足两直线平行，当时， ，解得a的值即可．【解答】解：当时，它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．
当时，由，解得：
综上，或
故选  4.【答案】B 【解析】解：由题可知，，
所以，
所以，所以，
故选：
由空间向量的线性运算直接计算即可．
本题考查了空间向量及其线性运算，属于中档题．
 5.【答案】B 【解析】解：设向量在基底，下的坐标为，
则，
整理得：，
，解得，，，
向量在基底下的坐标是
故选：
设向量在基底，下的坐标为，则，由此能求出向量在基底下的坐标．
本题考查向量在基底下的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．
 6.【答案】D 【解析】解：依题意，


，
故选：
把两边平方，即可求得的模，即可求出
本题考查了空间向量的线性运算、模的运算，属于中档题．
 7.【答案】A 【解析】【分析】
设出P的坐标，根据数量积得到，进一步转化求解即可．
本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：设直线l：上点P的坐标为：，
则，，
，
故需：，解得：，
故选：  8.【答案】D 【解析】解：设该正方体外接球的半径为R，依题意有，解得，故，
，故，分别取棱AB，BC的中点F，G，连接GF，，，，
根据正方体的性质可知，四边形为等腰梯形，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，，
，，
所以，，由于，
所以平面，即截面为等腰梯形，
由题可知，，，
所以等腰梯形的高为，
故截面图形的面积为
故选：
先求得正方体的边长，画出截面，利用向量法证得平面，根据梯形面积公式计算出截面的面积．
本题考查空间中点线面的位置关系，属基础题．
 9.【答案】ACD 【解析】解：对于A选项，根据零向量的概念可知，A选项正确；
对于B选项，由可得，的夹角为锐角或零角，故B项错误；
对于C选项，因为，，所以，故，故C项正确；
对于D选项，因为，，，，，三个向量不共面，故D项正确．
故选：
根据空间向量的知识，依次分析即可得答案．
本题考查了向量的数量积及零向量的概念，属于基础题．
 10.【答案】ABD 【解析】解：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA，PB，PC 所在的直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，，，
，
，，故A正确；
，，故B正确；
不存在非0实数，使，错误，即C错误；
，，故D正确．
故选：
以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA，PB，PC 所在的直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出所用向量的坐标，由数量积是否为0及共线向量定理判断．
本题考查空间向量的应用，利用空间向量证明平行与垂直，属于基础题．
 11.【答案】BCD 【解析】解：对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以故选项A说法正确；
对于B：当时，与直线斜率乘积等于，
两直线互相垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，可得或，
所以得不出，故必要性不成立，
“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
故选项B说法不正确；
对于C：当或时，直线的方程为或，
此时直线的方程不成立，故选项C说法不正确；
对于D：当过且横纵截距都为0时，所求直线方程为，
当过且横纵截距相等不为0时，
设所求直线方程为，即，可得，
所以直线的方程为，故选项D说法不正确；
故选：
根据斜率为，求得的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；当或时可判断C；当横纵截距都为0时，所求直线方程为可判断
本题考查了直线的倾斜角和两直线垂直的性质，考查充分必要条件以及转化思想，是中档题．
 12.【答案】AD 【解析】解：对于A，，所以A正确；
对于B，若存在线段，使平面平面线段，因为平面交平面EFG与平面分别为NG与DM，
于是，G应在的延长线上，所以B错；
对于C，因为，所以为直线EG与所成角，于是当在时，即时，最小，所以C错；
对于D，当G在C点时，三棱锥外接球半径的最大，
过N作，交于H，取外心P，作平面GEF，交NH于O，则O为三棱锥外接球球心，
如平面展开图，设半径，因为，，所以，
所以，，
由，可得，解得，所以D正确，
故选：
A求三棱锥体积判断；B用反证法判断；C用平移直线法求异面直线成角，用运动思想判断；D求外接球心，用方程求解判断．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了异面直线成角问题，考查了三棱锥外接球问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：设，
由题意可知，，，，
故，解得，，
故M的坐标为
故答案为：
根据题意设出点M坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．
本题主要考查了两点间距离公式的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，与的夹角为，则，
若与的夹角为钝角，则且与不共线，
则有，解得，
即的取值范围为
故答案为：
根据题意，由向量数量积的运算性质可得且与不共线，变形可得，再求出实数的取值范围．
本题考查向量数量积的性质及其运算，考查了转化思想，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则，，
设的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为，则P点关于y轴对称点为，
因为直线BC方程为，
所以P点关于BC的对称点为，
根据光线反射原理，，均在QR所在直线上，，
即，
解得，或当时，P点与A点重合，故舍去．
即
故答案为：
建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由，Q，R，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，
因为，
所以

，
，
所以，
，
所以，
以为一组基底，设AC与所成的角为，
所以，
则AC与所成角的余弦值
故答案为：
以为一组基底，设AC与所成的角为，由求解．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
 17.【答案】解：、，的斜率是
边上的高的斜率为
边上的高所在直线的方程为，即；
中点坐标为，BC的斜率是
与BC边平行的三角形中位线所在直线的方程为，即 【解析】求出BC的斜率，可得BC边上的高的斜率，利用点斜式，可求BC边上的高所在直线的方程；
求出AB中点坐标，利用点斜式，可求与BC边平行的三角形中位线所在直线的方程．
本题考查直线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
 18.【答案】解：连接ON，

因为N是棱BC的中点，所以，
因为M是棱OA上靠近A的三等分点，所以；
选①，
因为，所以

，所以；
选②，
因为，所以

，所以；
选③，
因为，所以

，所以 【解析】连接ON由可得答案；
选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；③对两边平代入已知再开方可得答案．
本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
 19.【答案】证明：取CD，CE的中点F，G，连FG、BG，

为CD的中点，
，且，
平面ACD，平面ACD，
，则，
又，
，则四边形GFAB为平行四边形，
，
为等边三角形，F为CD的中点，
，
平面ACD，平面ACD，
，
又，故平面CDE，
，
平面CDE，
又平面BCE，
平面平面 【解析】取CD，CE的中点F，G，连FG、BG，由三角形的中位线定理可得，且再由线面垂直的性质可得，则结合，得到则四边形GFAB为平行四边形，得在等边三角形ACD中，得到，结合平面ACD，可得由线面垂直的判定得故平面进一步得到平面CDE，由面面垂直的判定得平面平面平面
本题考查面面垂直的证明，属于中档题．
 20.【答案】解：三点，，，
，，
设，
，且分别与、垂直，
，解得或，
或
因为，所以可设，
因为，所以，
又，所以，解得，
所以或，
设点P的坐标为，则，
所以或，解得或，
则点P的坐标为或 【解析】设，由，且分别与、垂直，列出方程组求解即可．
设，求出的值，即得或，再求出点P的坐标．
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，属于中档题．
 21.【答案】解：直线l：，即，令，求得，，
可得直线l：经过定点，而为第一象限内的定点，
故无论k取何值，直线l始终经过第一象限．
直线l：直线l与x轴正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，
，且，求得
的面积为，
当且仅当时，取等号，
的最小值及此时直线l的方程，即 【解析】在直线方程中先分离参数，令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得定点坐标．再根据定点在第一象限，可得直线l始终经过第一象限．
先求得A、B的坐标，可得的面积为S表达式，再利用基本不等式，求得S的最小值及此时的k值，进而得到此时直线l的方程．
本题主要考查直线经过定点问题，截距的定义，基本不等式的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：延长FM交EA的延长线于O，
为AB中点，，
为OF中点，
又，
为OE中点，
连接DF交CE于N，
则，
又平面EMC，平面EMC，
平面EMC；
取AE中点H，
由题意可知，平面DEA，平面CFB，
，
与是全等的正三角形，
以H为原点建立空间坐标系如图，
设，
则，，，
，
，，，
设是平面EMC的法向量，
则，
，
取，得，
直线DE与平面EMC所成的角为，


得
得，
得，
解得或
故存在点M满足题意，或
或，
DE中点G坐标为，，
得到平面EFCD的一个法向量，
设二面角的平面角为，
当时，；
当时，
综上，存在点M，当时，二面角的余弦值为；
当时，二面角的余弦值为 【解析】利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则，证得线面平行；
取AE 中点H，以H为原点建立空间坐标系，设，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角的两个面的法向量，利用公式求解即可．
此题考查了线面平行，用空间向量解决线面所成角，二面角等，综合性较强，难度适中．