2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一（下）第三次学情调查数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一（下）第三次学情调查数学试卷1.  北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为(    )A. 3 B. 2 C. 5 D. 92.  已知向量，且，则实数(    )A.  B.  C. 6 D. 143.  已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.  在正方体中，点P在线段中点，异面直线CP与所成夹角是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，，且、均为锐角，则等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知l，m是两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则7.  “斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6dm的正方形，下底面是边长为2dm的正方形，高为“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为(    )A.  B. 16 C.  D. 48.  若圆锥，的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，，则这两个圆锥公共部分的体积为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  在中，下列结论正确的是(    )A.
B.
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为锐角三角形
 10.  在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有(    )A. ，则为等边三角形
B. 已知，则
C. 已知，，，则最小内角的度数为
D. 在，，，解三角形有两解
 11.  如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则(    )A.  B.
C.  D. 12.  已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则(    )A. 碳原子与氢原子之间的距离为
B. 正四面体外接球的体积为
C. 正四面体的体积为
D. 任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为13.  已知，则______.14.  一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为______.15.  已知单位向量，，满足，则______.16.  如图，已知O为的重心，且，若，则角A的大小为__________.
 17.  设i为虚数单位，，复数，
若是实数，求a的值；
若是纯虚数，求
18.  已知向量，满足，，
若，求实数的值；
若设与的夹角为，求的大小．19.  在①，②，③，其中S为的面积这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，计算的面积
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20.  如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：

平面
若，求直线与平面所成角的正切值．
21.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AB上，且
证明：；
若，求22.  如图，ABCD为圆柱的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线．
证明：平面DEF；
若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：根据分层抽样的定义可得：，
解得
故选：
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
 2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查向量的垂直的判定，属基础题．
由已知易得的坐标，由成立垂直的充要条件可得关于k的方程，解之即可．【解答】解：，，
，
又，
，解得，
故选：  3.【答案】B 【解析】解：因为
，
所以复数z对应的点在第二象限，
故选：
利用复数的运算性质化简复数z，再根据复数z的几何意义即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及几何意义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：因为，所以为异面直线CP与所成的角，
又易证为等边三角形，
，又点P在线段中点，

故选：
由，可得为异面直线CP与所成的角，求解即可．
本题考查异面直线所成角的求法，属基础题．
 5.【答案】D 【解析】解：由于且、均为锐角，且满足，所以；
同理，故；
故
故选：
首先利用三角函数的定义求出和；进一步利用三角函数中角的恒等变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的值的求法，角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 6.【答案】D 【解析】解：若，，则l不一定和垂直，比如：
，
故A错误，
若，，则或在平面外，故B错误，
若，，，则或与相交，故C错误，
若，，，由垂直与平行的性质可知，故D正确，
故选：
根据直线，平面之间的位置关系分别判断即可．
本题考查了直线，平面之间的位置关系，考查转化思想，是基础题．
 7.【答案】A 【解析】解：由题意可知，四棱台的侧面均为等腰梯形，则其斜高为，
所以“斗”的所有侧面的面积之和为，
下底面的面积为，
所以，
故选：
先计算正四棱台的斜高，再求出所有侧面的面积之和，进而得到答案．
本题考查四棱台的结构特征．表面积的计算，考查立体几何知识的实际应用，属于基础题．
 8.【答案】A 【解析】解：易得S，，，O在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示．

是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与OS垂直．
在中，，，则可得
在中，，则，则
又，所以点O，重合．
这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，
其底面半径为，高为，
所以所求体积为
故选：
过圆锥的轴作出截面图求解，两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，求出其底面半径和高，即可得所求体积．
本题考查与球有关的切接问题，体积的计算，解题的关键是过球心作出截面图．
 9.【答案】BC 【解析】解：，错误；
，且，，正确；
，，，为等腰三角形，正确；
若，则，为锐角，但B，C不一定都为锐角，不一定是锐角三角形，错误．
故选：
根据向量减法的几何意义即可判断选项A错误；根据向量数量积的计算公式即可判断选项B正确；进行数量积的运算即可得出选项C正确；由只能得出A为锐角，得不出为锐角三角形，即得出D错误．
本题考查了向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，锐角三角形的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 10.【答案】ABC 【解析】解：对于A，若，
则，
即，
因为A，B，C为三角形内角，
所以，即为等边三角形，故A正确；
对于B，由可得，
所以，
因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，故C正确；
对于D，因为，，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
所以三角形只有1解，故D错误；
故选：
利用正弦定理、余弦定理一-计算可判断正误．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 11.【答案】BCD 【解析】解：对于A，，故选项A不正确；
对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；
对于C，取DE的中点G，，D，E是BC的三等分点，得G是BC的中点，且，
所以，
所以，，故选项C正确；
对于D，由G是BC的中点，得，两边平方得，
所以，故选项D正确．
故选：
根据平面向量的基本定理和线性运算，逐一判断即可．
本题考查平面向量的基本定理和线性运算，属于基础题．
 12.【答案】ACD 【解析】解：如图所示，正四面体ABCD中，点O是正四面体的中心，连接OA，OB，OC，OD，于是，设点O在平面BCD内的射影为，连接，
正四面体的棱长为1，，
，，
即碳原子与氢原子之间的距离为，故A正确，
由A可知，OA为正四面体外接球的半径为，则正四面体外接球的体积为，故B错误，
正四面体的体积，故C正确，
设，其中，
在中，由余弦定理得，
即任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为，故D正确，
故选：
正四面体ABCD中，点O是正四面体的中心，连接OA，OB，OC，OD，设点O在平面BCD内的射影为，连接，由正四面体的棱长为1可得，，从而可判断A，再由球的体积公式可判断B，由三棱锥的体积公式可判断C，在中由余弦定理可判断
本题主要考查了正四面体的结构特征，考查了正四面体的外接球问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
所以，可得，
则
故答案为：
由已知利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 14.【答案】3 【解析】解：正方体被钻掉一个圆柱形孔后，正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小，同时又增加了圆柱的侧面积，
因为在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，
所以圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，
设圆柱的底面半径为r，则，解得，
故答案为：
根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，然后列出等式即可求解．
本题主要考查了圆柱的底面积公式和侧面积公式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：根据题意，设向量，的夹角为，
若单位向量，，满足，
则，所以，
所以
，
所以
故答案为：
根据题意，设向量，的夹角为，由数量积的性质可得，求出的值，再由，代入计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】【分析】本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握平面向量的线性运算与数量积的运算，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
取BC的中点D，连接AD，结合直角三角形的性质和重心的性质，可得，由，将其两边平方，并利用余弦定理，即可得解．【解答】解：取BC的中点D，连接AD，

因为O为的重心，所以点O在AD上，
又，所以，，
由，得，
所以，即①，
由余弦定理知，②，
由①②可得，，
因为，即，
所以，
因为，所以
故答案为  17.【答案】解：，
是实数，
，解得
，
是纯虚数，
，解得，
 【解析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及实数的定义，即可求解．
结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，复数模公式，属于基础题．
 18.【答案】解：已知向量，满足，，
则，
又，
则，
即，
即，
则，
即，不共线，
又，
则，
即，
解得，
即；
由，
，
则，
又，
则 【解析】先证明，不共线，然后令，再求解即可；
由，结合向量模的运算及向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属基础题．
 19.【答案】解：因为，
由正弦定理得
因为，
所以，即
又因为，可得，
所以即
若选①，即
则由余弦定理可得，
即，即，
解得
故的面积
若选②，即，则，
整理得，
由余弦定理得，
因为，所以
又因为，所以为等边三角形，
故的面积
若选③，即
由余弦定理可得，
而的面积，
故，
整理得，
因为，所以，
所以
所以
故的面积 【解析】根据正弦定理、诱导公式和二倍角的正弦公式可得，求出若选①，根据余弦定理可得，结合三角形面积公式计算即可；若选②，根据余弦定理可得，则为等边三角形，即可求出三角形面积；若选③，根据余弦定理和三角形面积公式求出，则为直角三角形，即可求出三角形面积．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式等知识，属于中等题．
 20.【答案】证明：在直三棱柱中，平面ABC，
，又，，
平面，
；
设与的交点为O，连结OD，
为平行四边形，为的中点，又D是AB的中点，
是三角形 的中位线，则，
又平面，平面，平面；
连结，平面ABC，，
又，D为AB的中点，
，则平面，
平面平面，
是在平面 上的射影，则为直线与平面 所成的角．
，，
直线与平面 所成的角的正切值为 【解析】由直三棱柱的性质可得平面ABC，即，又，由线面垂直的判定可得平面，则；
设与的交点为O，连结OD，可得，由线面平行的判定可得平面；
连结，由平面ABC，得，再由，得平面，可知是在平面 上的射影，则为直线与平面 所成的角．求解直角三角形得答案．
本题考查空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了线面角的求法，属中档题．
 21.【答案】证明：在中，因为，所以，
又因为，
所以，即，
在中，根据正弦定理，得，
故
解：在中，，
又由知，，所以，
在中，根据余弦定理，得，
又由已知，，得，
所以，
则，
即，
因为，
则，
所以或，
故或 【解析】在中，由锐角三角函数，得，代入条件，由正弦定理角化边得，即证；
由三角形等面积法，得，代入可得；将条件和同时代入余弦定理，化简后利用辅助角公式得到，由即可求解．
本题考查了三角函数与解三角形的综合，属于中档题．
 22.【答案】证明：连接AE，
是圆柱上异于AD，BC的母线．
，，四边形AEFD是矩形，，
是底面和直径，，，
又底面圆O，底面圆O，，
又，EF，平面DEF，
平面DEF；
解：由知平面DEF；
，
当且仅当时取等号，即此时三棱锥的体积最大，
，，，平面BEF，平面BEF，
为二面角的平面角，
在中，由，，，

二面角的余弦值为 【解析】连接AE，证明，，可证平面DEF；
，可求最大体积，可证为二面角的平面角，进而可求二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，二面角的大小的求法，属中档题．