2021-2022学年辽宁省抚顺一中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省抚顺一中高一（下）月考数学试卷（6月份）

1.  已知向量，，若，则(    )

A. 8 B.  C. 2 D.

2.  要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

3.  已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则(    )

A.  B. 3 C.  D. 2

5.  已知轮船A在灯塔B的北偏东方向上，轮船C在灯塔B的南偏西方向上，且轮船A，C与灯塔B之间的距离分别是10千米和千米，则轮船A，C之间的距离是(    )

A. 10千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

6.  在正四棱锥中，，M为PA的中点，N为BC的中点，则从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为(    )

A.  B.  C. 4 D. 3

7.  衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列结论正确的有(    )

A. 三棱柱有6个顶点
B. 四棱台有8条棱
C. 五棱锥有6个面
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

10.  已知复数，满足，，则(    )

A.
B.
C.
D. 在复平面内对应的点位于第一象限

11.  已知函数，则下列命题正确的是(    )

A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 对任意的m，在上不单调
 

12.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，下列结论正确的有(    )

A.  B.
C. 是直角三角形 D. 若，则的面积为

13.  如图，在长方体中，M，N分别是EH和FG的中点，则在三条直线AD，CD，BF中，与直线MN是异面直线的共有______条．

14.  已知，则______，______.

15.  如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知，，若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处______
m的点．

16.  如图，三棱锥的底面ABC的斜二测直观图为，已知底面ABC，，，，则三棱锥外接球的体积______.

17.  已知复数
若，求m的值；
若z为纯虚数．求m的值．

18.  已知单位向量，的夹角为，且向量，
用，表示出一个与共线的非零向量；
求与夹角的余弦值．

19.  如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别为，，，的中点．
证明：E，F，G，H四点共面；
证明：EG，FH，三线共点．

20.  已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若在上的值域为求的取值范围．

21.  如图，在圆锥PO中，A，B，C为底面圆上的三个点，，且，
证明：平面
求四棱锥的体积．

22.  如图，记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，，A的角平分线交BC于点D，O为的重心，过O作，交AD于点P，过P作于点
求a的取值范围；
若四边形BDPE与的面积之比为，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：向量，，，
，
解得
故选：
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以只需将函数的图象向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：
由三角函数图象的平移规律，算出答案即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：某圆锥的高为3，底面半径为，
则该圆锥的侧面积为：

故选：
利用圆锥侧面积公式直接求解．
本题考查圆锥的结构特征、圆锥侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由题意得，
所以由，得，
故选：
利用正弦定理求解．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由题意可知千米，千米，，
由余弦定理可得：，
则千米．
故选：
根据题意，将给的条件转化为三角形中的边角关系，然后利用余弦定理列出关于AC的方程求解即可．
本题考查解三角形的应用问题，关键在于将已知条件数学化，然后借助于正余弦定理构造方程求解，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：分以下几种情况讨论：
当点M沿着平面PAB、PBC到点N，将平面PAB、PBC延展为同一平面，如下图所示：

易知、均为等边三角形，延展后，，，
所以，四边形ABCP为菱形，所以，且，
因为M、N分别为AP、BC的中点，则且，
所以，四边形ABNM为平行四边形，此时；
当点M沿着平面PAB、ABCD到点N，将平面PAB、ABCD延展至同一平面，如下图所示：

连接BM，则，且，，
因为，由余弦定理可得；
当点M沿着平面PAD、ABCD到点N，连接PN，如下图所示：

则，
由余弦定理可得；
当点M沿着平面PAD、PCD、PCB到点N，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：

易知A、P、B三点共线，且，，，
由余弦定理可得，
综上所述，从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为
故选：
对点M到点N的路径进行分类讨论，将相应平面延展为同一平面，结合余弦定理可求得结果．
本题考查了计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题，属于中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图，延长CD和BE交于点F，
易证四边形ABFC为正方形，又，
所以
故选：
补全成正方形，根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解．
本题考查平面向量基本定理，平面向量的线性运算，分割补形法，属基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：由题意得，故，得，
又，化简得，所以，
则，，
令，，易知在上单调递增，所以当a最小时，的周长最短，
而，当且仅当时等号成立，故，
故当的周长最短时，
故选：
根据面积公式求出bc的值，然后结合余弦定理将化成关于a的函数，利用函数的单调性求出结论．
本题综合考查余弦定理、面积公式以及函数思想的应用，属于中档题．
 

9.【答案】ACD 

【解析】解：三棱柱有6个顶点；五棱锥5个侧面，一个底面，共有6个面；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；所以ACD正确；四棱台有12条棱，所以B不正确．
故选：
利用棱锥、棱柱、棱台的结构特征，判断选项的正误即可．
本题考查棱锥、棱柱、棱台的结构特征，是基础题．
 

10.【答案】ACD 

【解析】解：复数，满足，，
解得，，所以选项B错误，
，故A正确，
，故C正确，
在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，
故选：
先根据已知求出复数，，由此即可判断选项B，再根据复数的模的运算公式即可判断选项A，根据复数的运算性质以及复数的几何意义化简即可判断选项
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】AD 

【解析】解：因为，
对于A，令，，解得，，当时，可得，
所以的图象关于直线对称，则A正确；
对于B，令，，解得，，当时，，则B错误；
对于C，令，，解得，，所以的单调递减区间是，则C错误；
对于D，因为的最小正周期，所以，所以对任意的m，在上不单调，则D正确．
故选：
利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，进而利用正弦函数的性质即可逐项求解判断．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想的应用，属于中档题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，
结合，，或
，，
即 ，
即，，
，故，，故B正确．
若，则，则是直角三角形，故C正确．
若，则，则是直角三角形，故C正确．
若，则，，，，则的面积为，故D正确，
故选：
由题意，利用两角和差的三角公式，正弦定理、直角三角形中的边角关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：如图，在长方体中，
M，N分别是EH和FG的中点，
则在三条直线AD，CD，BF中，
AD，BF均与MN异面，MN与CD共面．
在三条直线AD，CD，BF中，
与直线MN是异面直线的共有2条．
故答案为：
利用异面直线的定义直接求解．
本题考查异面直线的判断，考查异面直线的定义等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：3；
由题意，利用诱导公式、两角和的正切公式，计算得出结论．
本题主要考查应用诱导公式、两角和的正切公式化简三角函数式，属于基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点为点D，，则，，
得，整理得，
解得，或舍，
故甲同学最快拦截乙同学得点是线段AC上离A处5m的点．
故答案为：
设，然后用x表示出BD，AD，再结合的值，在中，利用余弦定理列出关于x的方程，解之即可．
本题考查余弦定理在实际问题中的应用，根据已知条件寻找等量关系，通过列方程解决是本题的基本思路，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，所以由斜二测画法得，在原图中，，
所以三棱锥外接球的半径，则

故答案为：
先由斜二测画法得，再结合底面ABC求出外接球半径，即可求解．
本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：由，可知z为实数，
所以，得或
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，故
若z为纯虚数，则，求得 

【解析】由题意可得z为实数，故它的虚部等于零，由此求得m值，再检验，可得结果．
由题意可得，，由此求得m的值．
本题主要考查复数的有关概念，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意单位向量，的夹角为，且向量，
得，
所以与共线的非零向量可以是答案不唯一，满足即可
因为，所以，
，
，
故 

【解析】求出的表达式，然后推出结果．
通过向量的数量积公式转化求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

19.【答案】证明：如图，连接EF、GH，
E，F分别为，的中点，则，且，
则四边形是平行四边形，
则，且，
G，H分别为，的中点，则GH是的中位线，则有，且，
故有，且，
故E，F，G，H四点共面，
由的结论，，且，
则四边形EFHG是梯形，EG和FH是梯形的两腰，即EG和FH必定相交，设其交点为P，
则，而平面，则平面，
同理：平面，
又由平面平面，
则，
故EG，FH，三线共点． 

【解析】根据题意，连接EF、GH，证明和，由此可得，即可得结论；
根据题意，分析可得EG和FH必定相交，设其交点为P，由平面的基本性质证明，即可得结论．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面的基本性质，属于基础题．
 

20.【答案】解：由图可知的最小正周期记为T，
则，得
因为，所以
由，
得，
即，
因为，所以，
所以
由可知
当时，

由在上的值域为
得的取值范围是
又，
所以，
解得，即的取值范围是 

【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
根据题意，当时，再结合函数的单调性以及它的值域，求得的范围．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．
 

21.【答案】证明：在圆锥PO中，A，B，C为底面圆上的三个点，，且，，
如图，设线段AP上靠近A的三等分点为F，连接EF，OF，

，∽，，且，
，且，
，且，
四边形OCEF为平行四边形，，
平面PAO，平面PAO，
平面PAO；
解：作于点G，则G为AB的中点，，
梯形ABCO的面积为，
，到平面ABCO的距离为，
四棱锥的体积为 

【解析】设线段AP上靠近A的三等分点为F，连接EF，OF，再结合条件证明四边形OCEF为平行四边形，分析求解即可；
作于点G，则G为AB的中点，再求出梯形ABCO的面积，由圆锥性质得E到平面ABCO的距离为，再利用公式求解即可．
本题考查了线面平行的证明和四棱锥的体积计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，均为锐角．
所以解得

如图，连接AO，延长AO交BC于点

因为O为的中心，所以G为BC的中点，
因为，所以，，
所以∽，所以
设，，则
因为，，
，
所以由，得，即
因为，
所以四边形BDPE的面积为
由，得，得，
所以 

【解析】判断，均为锐角．利用余弦定理，推出a 的范围即可．
连接AO，延长AO交BC于点求解三角形的面积，由，结合推出，然后求解即可．
本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．