2021-2022学年山西省晋中市新大陆双语学校高一（下）第二次月考数学试卷（5月份）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年山西省晋中市新大陆双语学校高一（下）第二次月考数学试卷（5月份）（含答案解析），共19页。试卷主要包含了 设a，b，c是直线，， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山西省晋中市新大陆双语学校高一（下）第二次月考数学试卷（5月份）1.  已知m，n表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则2.  设a，b，c是直线，(    )A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则a与c，b与c所成的角相等
D. 若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线3.  下列命题中正确的是(    )A. 一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B. 如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C. 平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D. 如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行4.  已知直三棱柱，若，，D是棱中点，则直线AC与直线所成角的余弦值为(    )
A.  B.  C.  D. 5.  如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为(    )A.
B.
C.
D. 6.  已知点A，B，C在球心为O的球面上，且A，B，C，O四点共面，若，则球O的体积为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为(    )A. 2S B.  C.  D. 8.  如图，在正方体中，M是棱的中点，则过M且与直线AB和都垂直的直线有(    )A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 无数条9.  已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则O到平面ABC的距离为(    )A.
B.
C. 1
D. 10.  已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积是(    )A.
B.
C.
D. 11.  如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是(    )A.
B.
C.
D. 12.  如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，则下列结论不正确的是(    )A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面13.  如图，平面平面，所在的平面与，分别交于CD和AB，若，，，则______.
 14.  菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是______.
 15.  已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：
①，，，则；
②若，，则；
③若m，n是异面直线，则存在，，使，，且；
④若，不垂直，则不存在，使
其中正确的命题有______.
 16.  鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征．图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形ABCD是矩形，其中、、，点到平面ABCD的距离为18cm，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为______假定烹煮的食物全在四棱台内
 17.  空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，，，求证：18.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，M、N分别是AB、PC中点．
求证：平面PAD；
求证：
19.  在正方体中．
求异面直线与所成角的大小．
求直线与平面ABCD所成角的正切值．
求证：
20.  在正三棱锥中，O，E，F分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC的中点，且，
在BC上是否存在一点H？使得平面平面BOE；
若点M是FG的靠近点F的三等分点，求三棱锥的体积．
21.  如图所示的五面体ABCDEF中，平面平面ABCD，四边形CDEF为正方形，，，
求证：平面ADE；
若，求多面体ABCDEF的体积．

答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由题可知，若，，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；
若，，则，故B正确；
若，，则，故C错误；
若，，则或或n与相交或，故D错误．
故选：
根据平行和垂直的判定和性质依次判断即可．
本题主要考查了空间中的平行关系和垂直关系，属于基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：对于A、B，若，，则a与c可平行，可垂直，所以A、B不正确；
对于C，若，则a与c，b与c所成的角相等，所以C正确；
对于D，若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c可平行可异面可相交，所以D不正确．
故选：
根据空间直线与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案．
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：对于A，一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，故A错误；
对于B，如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，故B正确；
对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D，如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，故D错误．
故选：
根据空间直线、平面间的位置关系，特别是面面平行的判定定理判断．
本题考查空间直线、平面间的位置关系，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：取中点G，连接CG，AG，

为中点，D为中点，
在直三棱柱中且，即为平行四边形，
，则直线AC与直线所成角即为，
设，
则，，

故选：
G为中点，连接CG，AG，易得为平行四边形，则，进而确定直线AC与直线所成角的平面角，应用余弦定理求其余弦值．
本题考查异面直线的夹角，需作辅助线，是中档题．
 5.【答案】D 【解析】解：一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，
由题设条件知：
该几何体的体积由两部分组成，如图：

①底面半径为3、高为3的圆柱体的体积，
②底面半径为3、高为2的圆柱体的体积的一半，
该几何体的体积为：

故选：
由题设条件知该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为3、高为3的圆柱体体积，②底面半径为3、高为2的圆柱体体积的一半，由此能求出该几何体的体积．
本题考查几何体的体积的求法，考查圆柱及其截面的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 6.【答案】A 【解析】解：设球的半径为R，由A，B，C，O四点共面可知A，B，C在以O为圆心R为半径的圆上，
由正弦定理可得，则，球的体积为
故选：
先判断出A，B，C在以O为圆心R为半径的圆上，结合正弦定理求得，即可求出球O的体积．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
 7.【答案】C 【解析】解：如图所示：

由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，
不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：
平面图中的高OC是直观图中长度的2倍，如直观图，
的长度是直观图中梯形的高的倍，
由此平面图中梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的倍，
其面积是梯形的面积倍，
又梯形的面积为S，
则原梯形的面积是
故选：
根据斜二测画法将图形还原，其平面图是一个直角梯形，求出原梯形的面积即可．
本题考查了斜二测画法的应用问题，解题的关键是掌握斜二测画法的法则，是基础题目．
 8.【答案】A 【解析】解：与直线AB和都垂直即与直线AB和BC都垂直，
故所求的直线垂直于平面ABCD，
所以过M且与直线AB和都垂直的直线有且仅有直线，
故选：
分析可得与直线AB和都垂直的直线一定垂直于平面ABCD再判断即可
本题主要考查空间中的垂直关系，属于基础题．
 9.【答案】A 【解析】解：根据题意作出如下示意图，

设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径，AO为球体的半径，
根据球的性质得平面ABC，
所以即为O到平面ABC的距离，
所以，
因为是面积为的等边三角形，
所以底边的高为：
所以面积为：，
所以，
所以底边高为：，
所以，
因为球O的体积，解得，
即，
所以O到平面ABC的距离为：，
故选：
根据题意作出如下示意图，设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径，AO为球体的半径，根据球的性质得平面ABC，所以即为O到平面ABC的距离，所以，再分别求出所需数据即可．
本题考查了几何体的外接球问题，属于中档题．
 10.【答案】C 【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则底面周长为
侧面展开图为半圆，
，即，
解得，
所以
故选：
根据侧面展开图是一个半圆，得到母线与底面半径的关系，再由圆锥的侧面积为，求得母线和半径，然后由表面积公式求解．
本题考查圆锥的表面积，属于基础题．
 11.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定，属于中档题．
利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可．【解答】解：对于A，如图，连接，则，

因为N，Q分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面MNQ，平面MNQ，
所以平面MNQ，
对于B，如图连接，

因为M，Q分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面MNQ，平面MNQ，所以平面MNQ，
对于C，如图，连接，则，

因为M，Q分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面MNQ，平面MNQ，所以平面MNQ，
对于D，如图取底面中心O，连接OQ，

由于Q为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
因为OQ与平面MNQ相交，所以AB与平面MNQ相交，
故选：  12.【答案】D 【解析】解：对于A，连接EF，，

，，四边形为平行四边形，，
，F分别是，的中点，，，
又平面，平面，平面，故A正确；
对于B，连接BF，FD，EF，OF，OE，

设正方体的棱长为2，则，，，，
为BD中点，，，
，，又，，
又，平面，故B正确；
对于C，取BC中点G，连接OG，，

，G分别为BD，BC中点，，且，
又，，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面，故C正确；
对于D，取中点M，连接ME交于N，连接BM，ON，，

假设平面，
平面BDEM，平面平面，，
又E，M分别为，中点，，又，，
四边形ONED为平行四边形，，显然不成立，故D错误．
故选：
根据中位线和平行四边形性质可得，由线面平行判定A正确；由等腰三角形三线合一性质和勾股定理得，，由线面垂直的判定知B正确；通过平行四边形性质可证得，由线面平行的判定知C正确；由线面平行的性质，结合反证法判断D错误．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由平面平面，平面平面，平面平面，
，，，，，，
故答案为：
由面面平行可得线线平行，可得，可求AB的长．
本题考查面面平行的性质，属基础题．
 14.【答案】异面垂直 【解析】解：如图，

因为，菱形ABCD在平面内，
所以，，
所以平面PAC，则，
显然PA与BD异面，
故答案为：异面垂直．
画出图形，由线面垂直可知线线垂直，结合菱形的性质可得平面PAC，则，同时由图形易知两直线异面．
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
 15.【答案】③④ 【解析】解：对①，，，，则或m和n异面，故①错；
对②，，，则或，故②错；
对③，m，n是异面直线，则存在，，使，，且，③正确；
对④，，不垂直，由面面垂直的判定可知，则不存在，使，故④正确；
故答案为：③④．
对①，m，n需考虑平行与异面两种情况；
对②，需考虑平行与包含两种情况；
对③，两个面平行，易得两条异面直线，此即为符合的情形；
对④，由面面垂直的判定即可判断．
本题主要考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：几何体为四棱台，则延长、、、必交于一点，该点记为O，
由得：，
过点O作平面于H，作面ABCD于G，则OH与OG所在直线重合，可得，
又，解得，，

故答案为：
延长、、、必交于一点，该点记为O，过点O作平面于H，作面ABCD于G，则OH与OG所在直线重合，根据比例关系即可求出、OG、OH，根据即可求得答案．
本题考查了棱台的体积计算，属于中档题．
 17.【答案】证明：点G，E分别是CD，BC的中点，，同理，
或的补角是异面直线AC与BD所成的角，
在中，，，，满足，，
即异面直线AC与BD所成的角是，
 【解析】异面直线所成角为，则两直线垂直．
本题考查了线线垂直的证明，属于基础题．
 18.【答案】证明：取PD中点G，连结AG，
是PC中点，

又是AB中点，，
，
四边形AGNM是平行四边形．

平面PAD，平面PAD，
平面
平面ABCD，
又底面ABCD为矩形，

平面PAD，

又，
 【解析】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题．
欲证平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则，而平面PAD，平面PAD，满足定理所需条件；欲证，先证线面垂直即可得到
 19.【答案】解：连接，BD，

由，，可得四边形为平行四边形，
则，则为异面直线与所成角或其补角，
中，则，
则异面直线与所成角为；
正方体中，平面ABCD，
则为直线与平面ABCD所成的角，
则直线与平面ABCD所成角的正切值为；
证明：正方体中，平面ABCD，
则，又，，
则平面，
又平面，
则 【解析】先作出异面直线与所成的角，再求其大小即可；
先作出直线与平面ABCD所成角，再求其正切值即可；
先证明平面，进而可以证明
本题考查了空间角的求解以及垂直关系的证明，属于中档题．
 20.【答案】解：若H为BC中点，连接FH，GH，又O，E，F，G分别是AC，AD，BD，OC的中点，
则，，故，且，

而面BOE，面BOE，则面BOE，
又面BOE，面BOE，则面BOE，
由，则面面BOE，
所以，存在H为BC中点，使面面BOE；
由知：面面BOE，而面FGH，则面BOE，
所以，
在正三棱锥中，，，即，，
所以，，，则面BOD，面ABC，
所以面面BOD，故三棱锥的体高即为底边OB上的高h，

而，又底面ABC为等边三角形，
则D在底面的投影为底面中心在OB上且到各顶点距离，即外接圆半径，
所以，又，
所以 【解析】为BC中点，连接FH，GH，由中位线性质及线面、面面平行的判定证得面面BOE，即可判断存在性．
由易得面BOE，根据已知中点有，应用锥体的体积公式求体积即可．
本题主要考查面面平行的判定，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
 21.【答案】证明：因为，平面平面ABCD，
平面平面，平面CDEF，所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
在中，因为，故，不妨设，
所以由余弦定理，得，所以，
又，所以平面ADE；
解：若，则，由知平面ADE，所以BD为三棱锥的高，
而四棱锥的高为点B到平面CDEF的距离，因为平面平面ABCD，所以点B到平面CDEF的距离就是点B到直线CD的距离，
故 【解析】根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理即可证明；
把多面体拆成一个三棱锥和一个四棱锥即可求体积．
本题考查了线面垂直的证明和多面体的体积计算，属于中档题．