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2021-2022学年山西省名校高一(下)联考数学试卷(5月份)(含答案解析)
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2021-2022学年山西省名校高一(下)联考数学试卷(5月份)1. 已知四棱台有x个顶点,有y条棱,则( )A. B. C. D. 2. 学校组织了“我骄傲,我是中国人”的演讲比赛.比赛规则:从7个裁判打出的分数中去掉一个最高分和一个最低分,剩余5个分数的平均分为该选手的最终得分.已知这7个裁判给小夏同学打出的分数分别为89,94,92,81,92,96,93,则小夏同学的最终得分为( )A. 91分 B. 92分 C. 93分 D. 94分3. 在以下调查中,适合用全面调查的是( )A. 调查某企业的产品在全国市场的占有率
B. 了解一个班级学生的近视程度
C. 了解某地区的空气质
D. 调查一个大型水库所有鱼中鲫鱼所占的比例4. 小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间单位:分钟,得到的数据分别为12,5,7,11,15,30,则这组数据的分位数是( )A. 12 B. C. 11 D. 75. 已知,是两个不同的平面,l,m,n为三条不同的直线,则“”的一个充分不必要条件是( )A. , B. ,,
C. ,, D. ,,6. 如图,水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形,已知,,则四边形ABCD的周长为( )A. 20
B. 12
C.
D. 7. 已知向量,不共线,向量,,,若A,B,C三点共线,则( )A. 2
B.
C.
D. 8. 某试验田种植甲、乙两种水稻,面积相等的两块稻田种植环境相同连续5次的产量如下:甲260250210250280乙220260230250290则下列说法错误的是( )A. 甲种水稻产量的众数为250
B. 乙种水稻产量的极差为70
C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
9. 已知复数,满足,,则( )A.
B.
C.
D. 10. 在正四棱锥中,,M为PA的中点,N为BC的中点,则从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为( )A.
B.
C. 4
D. 311. 在边长为2的菱形ABCD中,,,垂足为点E,以DE所在直线为轴,其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体,则该几何体的表面积为( )A.
B.
C.
D. 12. 对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,C,D,其中,,,,,,,,则( )
A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立13. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:5,现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为260的样本,则从高三年级抽取的学生人数为______.
14. 若某圆柱内切球的表面积为,则该圆柱的体积为______.
15. 已知一组数据,,…,的平均数为,方差2,则另外一组数据,,…,的平均数为______,方差为______.
16. 在长方体中,,E,F分别为棱,上一点,且,则过点C,E,F的平面截该长方体所得的面面积为__________.
17. 瓜子是一种深受大家喜爱的多食.某炒货店两种口味瓜子的成本价与售价如表: 成本元/公斤售价元/公斤原味瓜子1520焦糖味瓜子1623若该炒货店某月天原味瓜子的日销平均值为45公斤,焦糖味瓜子的日销量平均值为55公斤,求该炒货店这两种口味瓜子的月利润;
已知该炒货店某天卖出了两种口味的瓜子共100公斤,若当天售卖瓜子获得的利润不低于560元,求当天焦糖味瓜子的最低销量.
18. 已知向量
若,求;
若与的夹角为锐角,求m的取值范围.19. 疫情期间,某社区成立了由网格员、医疗园、志愿者组成的采样组,上门进行核酸检测.某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄单位:岁进行了统计调查,将得到的数据进行适当分组后每组为左闭右开区间,得到的频率分布直方图如图所示.
求m的值;
估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的中位数;
估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的平均数.同一组中的数据用该组区间中点值作为代表
20. 如图,在直三棱柱中,,,M,N分别为棱AC,的中点.
证明:平面;
求点B到平面CMN的距离.
21. 在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,,且
求;
若点D在线段AC上,且,,求的面积.22. 如图1,有一个边长为4的正六边形ABCDEF,将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置,连接BH,CG,形成的多面体ABCDGH如图2所示.
证明:;
若,M是线段CG上的一个动点与C,G不重合,试问四棱锥与的体积之和是否为定值?若是,求出这个定值.若不是,请说明理由.
答案和解析 1.【答案】A 【解析】解:四棱台有8个顶点,有12条棱,
,,
故选:
利用四棱台的定义求出x,y的值,由此能求出结果.
本题考查四棱台的结构特征等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】B 【解析】解:从7个裁判打出的分数中去掉一个最高分和一个最低分,剩余5个分数分别为89,94,92,92,93,
则小夏同学的最终得分为分.
故选:
根据平均数的公式计算即可.
本题考查平均数的计算,熟记平均数公式是解决本题的关键.
3.【答案】B 【解析】解:A、C、D由于调查范围较广,调查的经济成本较高,不适合全面调查,
B班学生样本数量小,故适合全面调查.
故选:
根据调查的范围,从经济性层面判断是否适合全面调查.
本题考全面调查和抽样调查的概念,是基础题.
4.【答案】A 【解析】解:因为,
把这组数据从小到大排列为:5,7,11,12,15,30;
所以这组数据的分位数是第4个数,为
故选:
根据百分位数的定义,计算求解即可.
本题考查了百分位数的定义与应用问题,是基础题.
5.【答案】C 【解析】解:若,,,则,
故选:
根据线面垂直,面面平行分别判断即可.
本题考查了充分必要条件,考查线面,面面关系,是基础题.
6.【答案】A 【解析】解:根据题意,矩形,,,
则,
如图:原图矩形ABCD中,,,
,
则四边形ABCD的周长;
故选:
根据题意,作出原图矩形ABCD,分析原图中AB、BC的值,进而计算可得答案.
本题考查斜二测画法,涉及平面图形的直观图,属于基础题.
7.【答案】C 【解析】解:,,
,B,C三点共线,
,
解得,
故选:
利用向量共线定理即可得出结论.
本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8.【答案】D 【解析】解:对于A,由题意,得甲种水稻产量的众数为250,故A正确,
对于B,乙种水稻产量的极差为,故B正确,
对于C,甲种水稻产量的平均数为,乙种水稻产量的平均数为,故C正确,
对于D,甲种水稻产量的方差为,乙种水稻产量的方差为所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差,故D错误,
故选:
根据平均数,极差,众数,方差的计算公式计算出结果,逐个判断各个选项即可.
本题主要考查了众数,极差,平均数,方差的计算,属于基础题.
9.【答案】C 【解析】解:,,
,
故选:
结合复数的运算法则,即可求解.
本题主要考查复数的运算法则,属于基础题.
10.【答案】C 【解析】解:分以下几种情况讨论:
当点M沿着平面PAB、PBC到点N,将平面PAB、PBC延展为同一平面,如下图所示:
易知、均为等边三角形,延展后,,,
所以,四边形ABCP为菱形,所以,且,
因为M、N分别为AP、BC的中点,则且,
所以,四边形ABNM为平行四边形,此时;
当点M沿着平面PAB、ABCD到点N,将平面PAB、ABCD延展至同一平面,如下图所示:
连接BM,则,且,,
因为,由余弦定理可得;
当点M沿着平面PAD、ABCD到点N,连接PN,如下图所示:
则,
由余弦定理可得;
当点M沿着平面PAD、PCD、PCB到点N,将这三个侧面延展为同一平面,如下图所示:
易知A、P、B三点共线,且,,,
由余弦定理可得,
综上所述,从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为
故选:
对点M到点N的路径进行分类讨论,将相应平面延展为同一平面,结合余弦定理可求得结果.
本题考查了计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题,属于中档题.
11.【答案】C 【解析】解:由题意可知,该几何体由半个圆锥和半个圆台组成,
其中圆锥的底面圆的半径为1,母线长为2,圆台的上底面圆的半径为1,下底面圆的半径为2,母线长为2,高为,
所以半圆锥的表面积,
半圆台的表面积,
由于半圆台和半圆锥的轴截面有一部分是重合的,所以轴截面的面积为,
所以该几何体的表面积
故选:
由题意知,该几何体由半个圆锥和半个圆台组成,再根据圆锥和圆台的表面积公式,即可得解.
本题考查几何体的表面积的求法,熟练掌握圆锥和圆台的表面积公式是解题的关键,考查空间立体感和运算求解能力,属于中档题.
12.【答案】D 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断,考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系,根据,的关系判断事件是否独立.【解答】解:,,,
,与B互斥,故A错误;
由,A、D互斥且对立,故B错误;
,,则,C与D不互斥,故C错误;
由,,,
,与C相互独立,故D正确.
故选: 13.【答案】100 【解析】解:从高三年级抽取的学生人数为
故答案为:
根据分层抽样求解即可.
本题考查分层抽样方法,属于基础题.
14.【答案】 【解析】解:设圆柱内切球的半径为R,则圆柱的底面圆半径也为R,圆柱的高为2R,
又,,
该圆柱的体积为,
故答案为:
先根据圆柱内切球的表面积得球的半径,再通过圆柱内切球的特点求出圆柱的高和底面圆半径,最后代入圆柱体积公式即可求解.
本题考查圆柱内切球问题,球的表面积公式,圆柱的体积公式,属基础题.
15.【答案】6 98 【解析】解:一组数据,,…,的平均数为,方差2,
则另外一组数据,,…,的平均数为,方差为
故答案为:6;
根据平均数、方差的定义、性质计算.
本题考查平均数、方差的定义和性质,是基础题.
16.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面的基本性质及推论,是基础题.
连接,,EF,取,连接,易得截面即为且是平行四边形即可求解其面积.【解答】解:如图所示:
连接,,EF,取,连接,
则由长方体的特征知:,,
所以,且,
所以四边形是平行四边形,即为所求截面,
因为,,,
所以,
则,
所以截面的面积为
故答案为: 17.【答案】解:该炒货店这两种口味瓜子的月利润为
元;
设焦糖味瓜子卖出了x公斤,则原味瓜子卖出了公斤,
所以售卖瓜子获得的利润为,
解得,
所以当天焦糖味瓜子的最低销量为30公斤. 【解析】根据月利润=天数每天利润数,计算即可;
设焦糖味瓜子卖出了x公斤,由此列出不等式求出x的最小值.
本题考查了利润函数的应用问题,也考查了不等式解法与应用问题,是基础题.
18.【答案】解:根据题意,向量,
若,则,解可得,
则,,则,
则;
根据题意,若与的夹角为锐角,则有,
解可得:且,
即m的取值范围为且 【解析】根据题意,由向量垂直的判断方法可得,解可得m的值,即可得向量、的坐标,进而计算可得答案;
根据题意,由向量数量积的性质可得关于m的不等式,解可得答案.
本题考查向量数量积的计算,涉及向量夹角的计算,属于基础题.
19.【答案】解:由图可得,解得
,,
中位数在这一组,
设中位数为x,由题意得,
解得:,
所以估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的中位数为岁.
,
估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄平均数为岁. 【解析】本题考查由频数分布直方图求平均数、中位数,属于基础题.
由小长方形的面积之和等于1,即可求m值;
首先确定中位数落在哪一组,然后带入中位数公式即可;
带入平均数公式即可.
20.【答案】证明:设棱BC的中点为G,连接MG,
在中,G,M分别为边BC,AC的中点,所以,
在直三棱柱中,,
因为N为棱的中点,所以,则,,
所以四边形是平行四边形,所以
因为平面,平面,所以平面
解:设棱AB的中点为H,连接MH,NH,
,,,
在中,,
则的面积
三棱锥的体积
设点B到平面CMN的距离为h,三棱锥的体积,
解得故点B到平面CMN的距离为 【解析】利用线线平行证明线面平行;
利用等体积法求点到面的距离.
本题考查线面平行的证明,考查等体积法求点到面的距离,属中档题.
21.【答案】解:因为,所以由正弦定理得
又,
利用余弦定理:
根据三角函数的关系式,
故利用倍角公式
根据已知条件:,
因为,
在中,利用余弦定理:,
解得或舍去,
根据三角形的面积公式 【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出三角函数的值;
直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果.
本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.
22.【答案】证明:作,垂足为K,连接BK,
因为,,,所以,
所以,即,
,KH,平面BHK,所以平面BHK,
又平面BHK,所以;
解:实际上KH,KB是由原正六边形ABCDEF中对角线BF折叠过来的,
同理原正六边形ABCDEF中对角线CE折叠GN,CN,如图,同理有平面GCN,
又AD在平面ADCB和平面ADGH上,所以平面CGN与平面ADCB和平面ADGH都垂直,
平面CGN与平面ADCB和平面ADGH的交线分别是CN,GN,
因此在平面CGN内过M作,作,P,Q分别是垂足,
则平面ADGH,平面ADCB,
因为正六边形ABCDEF的边长为4,所以,又,
所以,
所以,即是等腰直角三角形,
则,都是等腰直角三角形,MPNQ是矩形,
,,所以,
,
【解析】作,垂足为K,连接BK,证明平面BHK可得结论成立;
类似K点的形成得出N点,平面CGN与与平面ADCB和平面ADGH都垂直,过M作交线的垂线MP,MQ,得其为平面的垂线,在中证明为定值,然后由棱锥体积公式计算可得.
本题考查棱锥的体积,考查学生的综合能力,属于难题.
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