2021-2022学年山西省吕梁市孝义市高一（下）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年山西省吕梁市孝义市高一（下）第一次月考数学试卷

1.  已知角的终边经过点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A. 3 B. 2 C. 0 D.

3.  在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则(    )

A.  B.  C. 1 D.

4.  下列说法中错误的是(    )

A. 零向量与任一向量平行 B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 单位向量的长度为1 D. 相等向量一定是共线向量

5.  在中，是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  在中，，E是AD的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若，则角A的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知，则(    )

A.  B. 0 C. 或 D.

10.  在边长为3的菱形ABCD中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为(    )

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

12.  已知点A，B，C是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若周长的最大值为，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  若复数，则复数______.

14.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三角形的面积，则角______.

15.  已知向量的夹角为，，则______.

16.  已知中，，，点D，E分别在边AB，BC上，且，，若，则______ ；______ .

17.  已知，都为锐角，，
求的值；
求的值．

18.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求角B；
若，，求的面积．

19.  已知向量，
若，求m；
若，求在上的投影向量

20.  已知函数
若，求函数的定义域；
若，，求函数的单调区间．

21.  已知，，与的夹角为，设，
求的值；
若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．

22.  如图，在中，，，CB的垂直平分线交边AC于点
求AD的长；
若，求的值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】
根据任意角的三角函数的定义求得和的值，即可求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
【解答】
解：由题意可得、、，，，
，
故选  

2.【答案】D 

【解析】解：，，
，解得，

故选：
利用复数的运算法则、复数相等的定义直接求解．
本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用正弦定理化简即可求解．

【解答】

解：，
由正弦定理可得：，
解得
故选：

4.【答案】B 

【解析】解：零向量与任一向量平行，故A正确；
方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；
单位向量的长度为1，故C正确；
相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D正确．
故选：
由零向量的概念判断A；由相反向量的概念判断B；由单位向量的概念判断C；由相等向量的概念判断
本题考查向量的基本概念，是基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：若成立，
由正弦定理，
所以，
所以
反之，若成立，
所以，
因为，，
所以，
所以是的充要条件．
故选：
由正弦定理知，由，知，所以，反之亦然，故可得结论．
本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以，
即，
，
因为E是AD的中点，
所以，
故选：
根据向量基本定理进行分解即可．
本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量加法和减法法则进行化简是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，，，
，，
，角，
故选：
由题意，利用两个向量垂直的性质，余弦定理，求出的值，可得A的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，余弦定理，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：为定义在R上的偶函数，，
在上是减函数且，
，
即，
故选：
根据函数奇偶性和单调性的性质即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：，，
再根据，
可得，
则，
故选：
由题意，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式，计算求得、的值，可得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的正切公式，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：如图，

，，
，且，
又，



故选：
画出图形，根据条件得，然后由，进行数量积的运算即可．
本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选：
根据所给材料的公式列出方程，解出t即可．
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
 

12.【答案】A 

【解析】解：记，，，
由，得，即，，
不妨取，1，2，如图，

，，，则，
又，
由对称性知，记AC中点为D，
则，，
记，
在上单调递减，且，

故选：
直接求出A，B，C三点坐标，结合图象表示出周长，然后利用单调性解不等式即可．
本题考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数，

故答案为：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由
余弦定理：，
可得：



故答案为：
利用余弦定理，即可得出．
本题考查三角形的余弦定理和三角形面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：向量的夹角为，，
则，
则
故答案为：
由已知求得，再由，展开后代入向量数量积求解．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图因为，，
所以，
所以
又，
所以
又因为与不共线，
所以，
所以，
所以
故答案为：，
由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求x，y，然后结合向量数量积性质可求．
本题主要考查了向量的线性表示，平面向量基本定理及向量数量积性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为为锐角，，
所以，；
因为为锐角，，可得，
所以 

【解析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的余弦公式即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为则；
因为，故可得，
则，又，故，又，
则，解得，又，故；
由知，故可得，又，
故可得，解得，
则 

【解析】利用正弦定理对已知条件进行边角互化，结合，求得，从而求得B；
由中所求B，利用余弦定理，结合已知条件求得a，c方程组，从而解得a，c，再根据面积公式即可求得结果．
此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：，………………分
由，得，
解得或………………分
当时，，
，……………………分
则与方向相同的单位向量……………………分
设a与的夹角为，
则所求投影向量………………分
…………………………分 

【解析】先求出，，再由，能求出
当时，，求出和与方向相同的单位向量，由此能求出在上的投影向量
本题考查平面向量的运算，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质、投影等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 

20.【答案】解：若，则，
由，解得，
函数的定义域为；
，，则，
由，解得或，
函数的对称轴方程为，
且在上单调递减，在上单调递增，
而是减函数，
函数的单调增区间为，单调减区间为 

【解析】把代入函数解析式，再由真数大于0，求解一元二次不等式得答案；
把，入函数解析式，再由真数大于0求解函数的定义域，求出内层函数的单调区间，结合复合函数的单调性得答案．
本题考查复合函数的定义域及单调性的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：分
与的夹角是锐角，
且与不共线． ……………………………………………………分
，………………………………分
，解得…………………………………………分
当与共线时，则存在实数，使，
解得……………………………………………………分
综上，实数t的取值范围是…………………………分 

【解析】利用已知条件求出斜率的数量积即可．
利用斜率的数量积大于0，结合不共线转化求解t的范围即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：依题意可得，
在中，由余弦定理可得，，
整理得，
即，
所以或；
因为，由得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
由，得，
在中，由正弦定理得，
即，
解得 

【解析】本题主要考查解三角形，考查正弦定理、余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
在中，利用余弦定理得到关于AD的方程，求解即可；
利用中的结论，得到AD的长，然后在中，由余弦定理求解BC，再利用同角三角函数的基本关系求解，在中，利用正弦定理即可求解