2021-2022学年浙江省浦江中学、长兴中学、余杭高中三校高一下学期3月联考数学试题（含答案解析）

2021-2022学年浙江省浦江中学、长兴中学、余杭高中三校高一下学期3月联考数学试题

1.  以下说法错误的是(    )

A. 平行向量方向相同 B. 零向量与单位向量的模不相等
C. 零向量与任一非零向量平行 D. 平行向量一定是共线向量

2.  如图所示，若向量，，，则向量可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知不共线的向量，，则(    )

A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线

4.  已知的重心为O，则向量(    )

A.  B.  C.  D.

5.  对于任意两个向量和，下列命题中正确的是(    )

A. 若满足，且与反向，则
B.
C.
D.

6.  若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则一定是(    )

A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形

7.  如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是       

A. 船头方向与水流方向垂直 B.
C.  D. 该船到达对岸所需时间为3分钟

8.  在中，角A，B，C所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D. 4

9.  下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

10.  已知向量，，则(    )

A.
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角余弦值为
D. 若，则

11.  中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且，下列命题正确的是(    )

A. 周长为 B.
C. 的外接圆半径为 D. 中线CD的长为

12.  如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方.则(    )

A. 有最大值也有最小值
B. 有最大值无最小值
C. 有最小值无最大值
D. 无最大值也无最小值

13.  已知点，，则与向量同方向的单位向量为__________.

14.  是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是__________.

15.  如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得已知山高，则山高__________

16.  在中，，的面积，为线段BC上一定点，且满足，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为__________

17.  已知平面直角坐标系中，点O为原点，，，

若，求实数m的值；

若A，B，C三点共线，求实数m的值．

18.  已知，，

求的值；

若在上的投影向量为，求的值．

19.  设的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

求B的大小；

当B为锐角且时，求周长的取值范围．

20.  在平行四边形ABCD中，，，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，
 

当，时，求向量和夹角的余弦值；

当时，求的取值范围.

21.  如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到现有甲，乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再从B匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，


 

求索道AB的长；

问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

22.  已知在平面直角坐标系中，点､点其中a､为常数，且，点O为坐标原点．

设点P为线段AB靠近点A的三等分点，，求的值；

如图，设点是线段AB的n等分点，，其中，n，，，求当时，求的值用含a､的式子表示；
 

若，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查零向量、单位向量的定义、相等向量、共线平行向量的性质，属于基础题.
根据平行向量共线向量、零向量、单位向量的定义或性质判断各选项的正误.

【解答】

解：A：平行向量的方向可能相同，也可能相反，错误；

B：零向量的模长为0，单位向量模长为1，模不相等，正确；

C：由零向量的性质，零向量与任一非零向量平行，正确；

D：平行向量的定义知：平行向量一定是共线向量，正确.

故选：

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．
本题考查向量的基本运算，考查计算能力．

【解答】

解：如图，

已知 ，，，则 ，
，

故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线定理与三点共线问题，属于基础题.
根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.

【解答】

解：对于假设三点共线，则存在实数 ，使得
即，又不共线，
所以，此时无解，故不存在实数 ，使得，
故 三点不共线，A错误;

对于不存在实数 ，使得，故 三点不共线，B错误；

对于 ，故 ，所以三点共线；

对于不存在实数 ，使得，故 三点不共线，D错误.

故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减与数乘混合运算，属于基础题.
根据重心的知识，结合向量减法和数乘运算，确定正确选项.

【解答】

解：设分别是的中点，
 

由于O是三角形ABC的重心，

所以

故选：

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查向量的三角不等式，向量的数量积，属于基础题.
利用向量的概念，向量加法、减法的三角形法则以及向量的数量积，判断选项的正误即可.

【解答】

解：A，因为向量不能比较大小，故A错误；

B，由向量减法的三角形法则可知，，故B错误；

C，，故C错误；

D，由向量加法的三角形法则可得，故D正确.

故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦定理，考查三角形的判定，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题．
利用余弦定理，结合已知条件可得，又，所以可判定是等边三角形．

【解答】

解：由题意，利用余弦定理可得：
，
化为，
解得，
又，
所以是等边三角形，
故选：

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量在物理中的应用，属于基础题.
考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸，根据题意，利用向量的平行四边形法则和勾股定理，即可求出结果.

【解答】

解：如图，航程最短时，就是船垂直到达对岸，此时船与水流方向不垂直

和速度为：
行驶航程最短时，所用时间是：
因为与垂直，故
故选：

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，属于一般题.

中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．

【解答】

解：，由正弦定理得：

由余弦定理得：，即，

 ，

当且仅当，，时取等号，

而B为三角形ABC的内角，

则，所以面积的最大值
故选

9.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理和余弦定理判定三角形解的个数，属于中档题．
利用正弦定理判定A、D选项，利用余弦定理判定B选项，利用三角形的边角关系判断C选项．

【解答】

解：根据题意，在A条件下，，
因为，
所以角B在和上各有一个解，
并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；
在B条件下，，，，
根据余弦定理可得，
解得或舍，所以只有1个解，满足题意；
在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解，满足题意；
在D条件下，，
因为，所以角A在和上各有一个解，
当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，
故选

10.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行共线关系的坐标表示、投影向量、利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示，属于中档题.
利用向量平行共线关系的坐标表示，可判断选项A的正误．
利用向量数量积的坐标运算和投影向量的概念，可判断选项B的正误.
利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，可判断选项C的正误.
利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，可判断选项D的正误．

【解答】

解：①，，则，
因为，所以不与平行，故A错误．
②，，则，，
所以向量在向量上的投影向量为，故B正确．
③，则，，则，
所以与夹角的余弦值为，故C正确．
④，，则，
所以，故D正确．
故选：

11.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，向量的数量积，属于中档题.
利用正弦定理得，设，，，利用三角形面积的新公式得，从而得，，，计算三角形周长得A不正确，利用余弦定理求得，再利用三角形内角和判定得B正确，再利用正弦定理可求得外接圆半径长得C正确，再利用向量的数量积求得中线长得D不正确，从而得结论.

【解答】

解：因为满足，
所以由正弦定理得：
设，，，
因为的面积，
所以，
解得，即，，
对于A、的周长为：，因此A不正确；
对于B、由余弦定理得：，
而C是三角形内角，因此，因此B正确；
对于C、由正弦定理知：外接圆直径为，
则外接圆半径为，因此C正确；
对于D、因为CD是的中线，
所以，
因此
，
即，因此D不正确.
故选

12.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的综合应用，涉及了平面向量模的求解、平面向量的数量积、两角和差公式的应用、二倍角公式的应用，考查的知识点多，对学生掌握知识的广度和深度都有很高的要求．
设，用表示出点A，B，C的坐标，分别用表示出，，，，根据的范围和三角函数化简公式得出答案．

【解答】

解：，，，
，
设，则，且，
，，，
，
故



，
因为，
所以当，即时，取到最大值，无最小值；
故选项A错误；



，
当，即时，取到最大值，无最小值．
故选项B正确；
，
所以



，
因为，
所以当，即时，取到最大值，无最小值；故C错误；




因为，
所以，
故没有最大值，也没有最小值．
故选项D正确；
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算和单位向量，属于基础题.
由点A、B的坐标算出，从而得到，利用与向量方向相同的单位向量 即可得出.

【解答】

解：点，，
，
，
与向量同方向的单位向量为：

故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的边角关系，余弦定理，是一般题型.
利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出c的取值范围，然后再由为钝角三角形，得到，利用余弦定理表示出，结合，列出关于c的不等式，求出不等式的解集，进而可得到最大边c的取值范围.

【解答】

解：，，
，即，
又为钝角三角形，c为最大边，，
根据余弦定理得，
即，即，
解得：，
，
则最大边c的取值范围是
故答案为

15.【答案】150 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理和解三角形的实际应用，属于基础题.
先在中求出AC，然后在中，根据正弦定理求出AM，最后在中，求出

【解答】

解：如图所示，在中，，，

在中，，，由正弦定理，得，

在中，，
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积，及三角运算，属于难题．
设AC中点为M，可得：，依题意可得恒成立，，作于D，设，，，结合两角和的正切公式与三角形面积公式列关于a、h的方程组，求解可得结论.

【解答】

解：如图，设AC中点为M，

，
，，
即，
 

恒有，
则恒成立，
设，
作于D，则
设，，
，的面积，
，，
，，解得，即，
故答案为：

17.【答案】解：由题知，，，

若，则，
解得

由题知，，

若A，B，C三点共线，则向量与共线，

有，解得

【解析】本题考查向量平行共线关系的坐标表示、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题.
先求出向量，的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求值；

先求出向量，的坐标，由A，B，C三点共线得向量与共线，再由向量共线的坐标表示求值.

18.【答案】解：，

，又，，

，则

由得，，
即，
⟨⟩

【解析】本题考查向量的数量积的概念及其运算、投影向量，属于一般题.
由已知条件，结合向量数量积的运算律，即可求的值；

由投影向量的定义求，再利用向量数量积的运算律求的值．

19.【答案】解：由正弦定理得：，且，

所以，又，故或；

由及题设知：且，由正弦定理，

所以，

所以，
，

由，则，故

所以则三角形周长的取值范围为

【解析】本题考查正弦定理及变形、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于一般题.
由正弦定理边角关系及三角形内角性质可得，进而求B的大小；

由题设及正弦定理有、，再应用和差角正弦公式可得，结合角A的范围即可求周长的范围．

20.【答案】解：由题意，，
以点A为坐标原点，分别以AB、AD所在直线分别为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，

则，，，
当时，，，
则，，
所以，
设向量和的夹角为，
则
以点A为坐标原点，分别以AB、AD所在直线分别为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，

因为，所以，，，，
所以，，
因为，，
所以，，
，
，
所以，
设，
因为在为减函数，
故，
所以的取值范围是 

【解析】本题考查向量数量积的坐标运算、利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于一般题.
建立平面直角坐标系xAy，写出各个相关点的坐标，进而分别求出、、，即可求得、夹角的余弦值；
建立平面直角坐标系xAy，写出各个相关点的坐标，求得，再利用函数的单调性，即可求出的取值范围.
 

21.【答案】解：因为，
所以，
同理，
所以
，
由正弦定理，得，
因为，
设乙出发，甲乙之间的距离为d，
所以
，
所以当分钟时，乙在缆车上与甲的距离最短. 

【解析】本题主要考查两角和的正弦，同角三角函数的关系式，正弦定理，余弦定理，在解三角形的实际应用.
利用两角和的正弦，同角三角函数的关系式，正弦定理，即可得；
利用余弦定理，以及二次函数的性质，即可得.
 

22.【答案】解：因为

，
点P为线段AB上靠近A点的三等分点，
所以，
所以，即；
由题意得，，
，
事实上，对任意的正整数m，n，且，
有，，
，
所以；
时，线段AB上存在一点M，使得，，且存在点，，
则，
，
所以，
即线段AB上一点M，到点O和点N的距离之和，作点O关于线段AB的对称点，
则最小值为 

【解析】本题考查了向量基本定理，向量长度的计算，转化思想，属于难题．
由向量共线，可知，向量可以用向量表示出来，再根据P为AB的三等分点，即可解决．
向量可以用与向量表示出来，向量也可以用与向量表示出来，联立可以发现规律，进而问题得到解决．
转化为直线AB上一点到点O，N的距离之和．