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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第2课时教案
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第2课时教案
3.2.2 基本不等式与最大（小）值学习目标:1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2.会用基本不等式解决实际问题. 3.体会数学建模思想的应用,加强逻辑推理和数学建模素养的培养. 教学重点、难点重点：正确运用基本性质.[来@源:z%zstep.&^co*m]难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件.[中国&教育@出~版网^*]教学方法 案例教学法[中%&国教*^育出版~网][中~国@教#^育出版网&]教学过程[中国教育*出&@^#版网]国教~育#出&版网]一、利用基本不等式求最大(小)值 [来^*源:&中国教育出版网#~]【问题思考】 1.(1)已知x,y都是正数,若x+y=s(s为定值),那么xy有最大值还是最小值?如何求? 提示：xy有最大值.由基本不等式，得s=x+y≥2，所以，[来源*:^zz#step.~co&m]当x=y时，积xy取得最大值.(2)已知x,y都是正数,若xy=p(p为定值),那么x+y有最大值还是最小值?如何求? [来#^%源:中国教@育&出版网]提示：x+y有最小值.由基本不等式，得x+y≥2，当x=y时，x+y取得最小值.2.根据以上探究过程，结合提示，填空.设x,y均为正实数.（1）若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时，xy取得最大值；[来源:%zzste^p.com~@*]（2）若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时，x+y取得最小值.二、利用基本不等式求条件最值 【问题思考】 1.利用基本不等式求最值时应注意几个条件? 提示:注意三个条件:一正、二定、三相等. 2.常用的构造定值条件的变换方法有哪些? 提示:(1)加项变换;(2)拆项变换;(3)统一换元;(4)平方后利用基本不等式. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. [来~*源:中^国教育%&出版网](1)两个数的积为定值,它们的和一定能在两个数相等时取得最小值.( × ) (2)若x+y=6,则xy的最大值为9.( √ ) (3)若xy=1,则x+y≥2.( × ) （4）若，则（√）合作探究·释疑解惑[来源:#zzst*ep%.co@^m][来%源:@~z&z#step.com]探究一 利用基本不等式求代数式的最值 例1. 已知，求的最大值. 解:∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故时，取最大值1.点睛：利用基本不等式求最值的方法: (1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解. (2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使其满足. 变式1. 已知,求的最小值. [来源^&:*@中教网%]解: ，当且仅当，即时，等号成立，故当x=2时，y取得最小值4.探究二 利用基本不等式求条件最值问题例2：已知x>0,y>0,且满足 ,则xy的最大值为 . 分析：先确定x,y的符号→根据已知条件和基本不等式求最值→注意验证等号成立的条件.[中*@国&教^育出版#网]解析：（方法1）∵,∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴xy的最大值为3.（方法2），当且仅当，即，时，等号成立，∴xy的最大值为3.答案：3拓展：[来源~:*&中^@教网]1.若把例2满足的条件改为3x+4y=1,其他不变,如何求xy的最大值? 解：∵3x+4y=1,∴，由得∴当且仅当时，等号成立，∴xy的最大值为.出^*@版网#]2. 若将例2满足的条件改为,其他不变,如何求x+y的最小值? [来源:中国@教育^#出版网*%]解析：∵且，∴==，当且仅当，即时等号成立，∴当时，x+y取得最小值.点睛：应用基本不等式求条件最值时 (1)通过对所给式子进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键; (2)必须指出等号成立的条件. 变式2.已知正数满足，求的最小值.解：∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故当时，取得最小值18.探究三 利用基本不等式解决实际问题例3.围建一个360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m. 设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元). (1)用x表示y. (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.分析:(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的关系式. (2)在(1)的基础上利用基本不等式求最值. 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m,[来源@&:zz#st~ep.*com]则，由题意，知，得，所以（2）因为，所以，所以[来源:#z~zstep&.c%o*m]当且仅当，即时，等号成立.所以当时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.点睛：在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点 (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的量定为变量; (2)建立相应的代数关系式,把实际问题抽象为代数式的最值问题; (3)确定变量的范围,求出代数式的最值; (4)写出正确答案. [来源#:zzst*ep.com@^%]变式3.要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm,请确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),使矩形广告面积最小,并求出最小值. 解：设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则有ab=9 000.① 广告的高为(a+20)cm,宽为(2b+25)cm,其中a>0,b>0. 广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500 当且仅当时，等号成立，此时，代入①式得，从而b=75,即当a=120,b=75时,S取得最小值24 500,故广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小,最小值为24 500 cm2. 易 错 辨 析 [中~国&^教育出#*版网]忽视基本不等式等号成立的条件致误 典例.已知且求的最小值. 错解 ∵ ∴①[来源:zzst@e#p&*^.com]又 = 2 \* GB3 ②∴以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示：①②两处等号成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a,这显然是不能同时成立的,故不正确.m@&]正解：∵∴∴，[来源^:z#~z&step@.com]当且仅当，即时，等号成立，[来源:中国教&育~出版网@%#]故当时，取得最小值.警示：1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.特别是多次使用基本不等式,要注意等号成立的条件要一致. 2.在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 变式：若且求的最小值.解：=，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值.随 堂 练 习 1.已知，则有（）A.最大值0 B.最小值0[来&源#%:^中*教网]C.最大值-4 D.最小值-4解析：∵，∴，[来源:中国教育出版^@网&~#]当且仅当，即时取等号.答案:C 2.已知，则对于，下列说法正确的是（）A.y有最大值7 B. y有最小值7源:中*~国教%@育出版网^]C. y有最小值4 D. y有最大值4 解析：，结合可得，[w@ww.zzstep.%~com*&]则，当且仅当时等号成立，此时y取最小值7.[中国教育出*@&%^版网]答案:B 3.已知，则当取最大值时，x的值为（）A. B. 源:中*~国教%@育出版网^]C. D. 解析:因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.[来源:#中^&国教育*出版~网]答案:B 4.若实数满足 ，则的最小值为（）A. B. 2源:中*~国教%@育出版网^]C. D. 4解析:因为,所以,又因为，所以(当且仅当时取等号)，所以的最小值为.答案：C5.若对任意恒成立，求实数a的取值范围.解：因为所以，[中国教^#育出~&版%网]当且仅当时取等号，[来*@&#源^:中教网]所以有，即的最大值为，又恒成立，故.课堂总结[来^源:~中教&%*网]利用基本不等式求最大（小）值的步骤及应用的条件.课后作业[来源~%:zz#s*tep.c&om]课本第30页练习第1-4题板书设计[中国~@^*教&育出版网] 基本不等式与最大（小）值^育出%@版#网]1. 利用基本不等式求最大（小）值 [www.z#zste&*p~.co@m]2. 利用基本不等式求最大（小）值成立的条件[来@&源#:~中*教网][中国教^#育出~&版%网]
3.2.2 基本不等式与最大（小）值学习目标:1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2.会用基本不等式解决实际问题. 3.体会数学建模思想的应用,加强逻辑推理和数学建模素养的培养. 教学重点、难点重点：正确运用基本性质.[来@源:z%zstep.&^co*m]难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件.[中国&教育@出~版网^*]教学方法 案例教学法[中%&国教*^育出版~网][中~国@教#^育出版网&]教学过程[中国教育*出&@^#版网]国教~育#出&版网]一、利用基本不等式求最大(小)值 [来^*源:&中国教育出版网#~]【问题思考】 1.(1)已知x,y都是正数,若x+y=s(s为定值),那么xy有最大值还是最小值?如何求? 提示：xy有最大值.由基本不等式，得s=x+y≥2，所以，[来源*:^zz#step.~co&m]当x=y时，积xy取得最大值.(2)已知x,y都是正数,若xy=p(p为定值),那么x+y有最大值还是最小值?如何求? [来#^%源:中国教@育&出版网]提示：x+y有最小值.由基本不等式，得x+y≥2，当x=y时，x+y取得最小值.2.根据以上探究过程，结合提示，填空.设x,y均为正实数.（1）若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时，xy取得最大值；[来源:%zzste^p.com~@*]（2）若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时，x+y取得最小值.二、利用基本不等式求条件最值 【问题思考】 1.利用基本不等式求最值时应注意几个条件? 提示:注意三个条件:一正、二定、三相等. 2.常用的构造定值条件的变换方法有哪些? 提示:(1)加项变换;(2)拆项变换;(3)统一换元;(4)平方后利用基本不等式. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. [来~*源:中^国教育%&出版网](1)两个数的积为定值,它们的和一定能在两个数相等时取得最小值.( × ) (2)若x+y=6,则xy的最大值为9.( √ ) (3)若xy=1,则x+y≥2.( × ) （4）若，则（√）合作探究·释疑解惑[来源:#zzst*ep%.co@^m][来%源:@~z&z#step.com]探究一 利用基本不等式求代数式的最值 例1. 已知，求的最大值. 解:∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故时，取最大值1.点睛：利用基本不等式求最值的方法: (1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解. (2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使其满足. 变式1. 已知,求的最小值. [来源^&:*@中教网%]解: ，当且仅当，即时，等号成立，故当x=2时，y取得最小值4.探究二 利用基本不等式求条件最值问题例2：已知x>0,y>0,且满足 ,则xy的最大值为 . 分析：先确定x,y的符号→根据已知条件和基本不等式求最值→注意验证等号成立的条件.[中*@国&教^育出版#网]解析：（方法1）∵,∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴xy的最大值为3.（方法2），当且仅当，即，时，等号成立，∴xy的最大值为3.答案：3拓展：[来源~:*&中^@教网]1.若把例2满足的条件改为3x+4y=1,其他不变,如何求xy的最大值? 解：∵3x+4y=1,∴，由得∴当且仅当时，等号成立，∴xy的最大值为.出^*@版网#]2. 若将例2满足的条件改为,其他不变,如何求x+y的最小值? [来源:中国@教育^#出版网*%]解析：∵且，∴==，当且仅当，即时等号成立，∴当时，x+y取得最小值.点睛：应用基本不等式求条件最值时 (1)通过对所给式子进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键; (2)必须指出等号成立的条件. 变式2.已知正数满足，求的最小值.解：∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故当时，取得最小值18.探究三 利用基本不等式解决实际问题例3.围建一个360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m. 设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元). (1)用x表示y. (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.分析:(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的关系式. (2)在(1)的基础上利用基本不等式求最值. 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m,[来源@&:zz#st~ep.*com]则，由题意，知，得，所以（2）因为，所以，所以[来源:#z~zstep&.c%o*m]当且仅当，即时，等号成立.所以当时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.点睛：在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点 (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的量定为变量; (2)建立相应的代数关系式,把实际问题抽象为代数式的最值问题; (3)确定变量的范围,求出代数式的最值; (4)写出正确答案. [来源#:zzst*ep.com@^%]变式3.要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm,请确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),使矩形广告面积最小,并求出最小值. 解：设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则有ab=9 000.① 广告的高为(a+20)cm,宽为(2b+25)cm,其中a>0,b>0. 广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500 当且仅当时，等号成立，此时，代入①式得，从而b=75,即当a=120,b=75时,S取得最小值24 500,故广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小,最小值为24 500 cm2. 易 错 辨 析 [中~国&^教育出#*版网]忽视基本不等式等号成立的条件致误 典例.已知且求的最小值. 错解 ∵ ∴①[来源:zzst@e#p&*^.com]又 = 2 \* GB3 ②∴以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示：①②两处等号成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a,这显然是不能同时成立的,故不正确.m@&]正解：∵∴∴，[来源^:z#~z&step@.com]当且仅当，即时，等号成立，[来源:中国教&育~出版网@%#]故当时，取得最小值.警示：1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.特别是多次使用基本不等式,要注意等号成立的条件要一致. 2.在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 变式：若且求的最小值.解：=，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值.随 堂 练 习 1.已知，则有（）A.最大值0 B.最小值0[来&源#%:^中*教网]C.最大值-4 D.最小值-4解析：∵，∴，[来源:中国教育出版^@网&~#]当且仅当，即时取等号.答案:C 2.已知，则对于，下列说法正确的是（）A.y有最大值7 B. y有最小值7源:中*~国教%@育出版网^]C. y有最小值4 D. y有最大值4 解析：，结合可得，[w@ww.zzstep.%~com*&]则，当且仅当时等号成立，此时y取最小值7.[中国教育出*@&%^版网]答案:B 3.已知，则当取最大值时，x的值为（）A. B. 源:中*~国教%@育出版网^]C. D. 解析:因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.[来源:#中^&国教育*出版~网]答案:B 4.若实数满足 ，则的最小值为（）A. B. 2源:中*~国教%@育出版网^]C. D. 4解析:因为,所以,又因为，所以(当且仅当时取等号)，所以的最小值为.答案：C5.若对任意恒成立，求实数a的取值范围.解：因为所以，[中国教^#育出~&版%网]当且仅当时取等号，[来*@&#源^:中教网]所以有，即的最大值为，又恒成立，故.课堂总结[来^源:~中教&%*网]利用基本不等式求最大（小）值的步骤及应用的条件.课后作业[来源~%:zz#s*tep.c&om]课本第30页练习第1-4题板书设计[中国~@^*教&育出版网] 基本不等式与最大（小）值^育出%@版#网]1. 利用基本不等式求最大（小）值 [www.z#zste&*p~.co@m]2. 利用基本不等式求最大（小）值成立的条件[来@&源#:~中*教网][中国教^#育出~&版%网]
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