数学必修第一册第一章预备知识2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件导学案

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§2　常用逻辑用语第1课时　必要条件与充分条件课前篇·自主梳理知识【主题】　必要条件与充分条件1．必要条件与充分条件微提醒：p是q的充分条件与q是p的必要条件表示的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2．必要条件与性质定理，充分条件与判定定理(1)性质定理给出了结论成立的________．(2)判定定理给出了结论成立的________．答案：1．真命题　p⇒q　p推出q　必要条件　充分条件2．(1)必要条件　(2)充分条件微提醒：应用时一定要先分清哪是条件，哪是结论．[自我检测]1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (2)“x>0”是“x>1”的充分条件．(　　) (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)答案：(1)　解析：因为“x2＝9”D eq \o(⇒,/) “x＝3”．(2)　解析：因为“x>0”D eq \o(⇒,/) “x>1”．(3)　解析：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　)A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3答案：A3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直答案：A课堂篇·重难要点突破研习1　必要条件[典例1]　(1)使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　)A．x<0 B．x≥0或x≤－1C．x>0 D．x≤－1(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？①若|x|＝|y|，则x＝y；②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；③p：x＝1，q：x－1＝eq \r(x－1)；④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；⑤p：a是自然数，q：a是正整数；⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．(1)答案：B(2)解：①若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此pD eq \o(⇒,/) q，所以q不是p的必要条件；②直角三角形不一定是等腰三角形．因此pD eq \o(⇒,/) q，所以q不是p的必要条件；③当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0，所以p⇒q，所以q是p的必要条件；④当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pD eq \o(⇒,/) q，所以q不是p的必要条件；⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以pD eq \o(⇒,/) q，所以q不是p的必要条件；⑥等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．综上，③⑥满足q是p的必要条件．必要条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．[练习1](1)已知q是p的必要条件，q成立，p是否成立？q不成立，p是否成立？(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？①若a是1的平方根，则a＝1；②若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；③若a是无理数，则a是无限小数；④若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．(1)解：q成立，p未必会成立．q不成立，p一定不成立．(2)解：①1的平方根是±1，所以pD eq \o(⇒,/) q，所以q不是p的必要条件．②因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pD eq \o(⇒,/) q，所以q不是p的必要条件．③因为无理数是无限不循环小数，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．④若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．综上，③④满足q是p的必要条件．研习2　充分条件[典例2]　(1)设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　)A．x>3 B．x<3 C．x>4 D．x<4(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？①若a∈Q，则a∈R；②若a1，则x2>1；④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；⑤在△ABC中，若A>B，则BC>AC；⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.(1)答案：C(2)解：①由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．②由于a1；当b>0时，eq \f(a,b)<1，因为pD eq \o(⇒,/) q，所以p不是q的充分条件．③由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件．④由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pD eq \o(⇒,/) q，所以p不是q的充分条件．⑤由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件．⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件．综上，①③⑤⑥满足p是q的充分条件．[解题探究]　在与充分条件判断有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，以命题真假判断为背景，理解充分条件和必要条件．[延伸探究]　将例(2)②的条件改为“若0eq \f(1,a)；当00，b>0时，有b<eq \f(1,a).因此pD eq \o(⇒,/) q，所以p不是q的充分条件．充分条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [练习2]下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若x2＝y2，则x＝y.(2)若内错角相等，则两直线平行．(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数．(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.解：(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此pD eq \o(⇒,/) q，所以p不是q的充分条件．(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1，且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．综上，(2)(3)(4)满足p是q的充分条件．课后篇·演练提升方案1．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件答案：B2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac

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