北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词学案

第3课时　全称量词与存在量词

课前篇·自主梳理知识

【主题】　全称量词命题与存在量词命题

1．全称量词与全称量词命题

　　2.存在量词与存在量词命题

微提醒：有些命题虽然省去了全称量词，但是它仍然是全称量词命题．例如：“正方形都是矩形”省去了全称量词“所有的”．

答案：

1．指定范围　整体　全部

2．个别　一部分

 [自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

  (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　)

  (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　)

  (3)全称量词命题一定含有全称量词．(　　)

答案：

(1)√　解析：全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．

(2)√　解析：存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．

(3)　解析：有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故说法是错误的．

2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)

  A．∀x∈R，x2≥0

  B．∃x∈R，x2<0

  C．平行四边形的对边不平行

  D．矩形的任一组对边都不相等

答案：B　

3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)

  A．每个二次函数的图象都开口向上

  B．存在实数x，平方为8

  C．所有菱形的四条边都相等

  D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立

答案：C

课堂篇·重难要点突破

研习1　全称量词命题与存在量词命题的判断

[典例1]　(1)下列命题中为全称量词命题的是(　　)

  A．有些实数没有倒数

  B．矩形都有外接圆

  C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

  D．∃x∈R，x2＋x≤2

(2)下列命题中为存在量词命题的是(　　)

  A．存在实数x>1，使x2>1

  B．全等的三角形必相似

  C．相似三角形必全等

  D．∀x∈N＋，(x－2)2>0

(3)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

①有一个实数x，x不能取倒数；

②所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；

③圆内接四边形，其对角互补；

④若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

(1)答案：B　(2)答案：A

(3)解：①含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．

②含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．

③可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题．

④若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路

 [练习1](1)通常什么情况下会省略量词？

(2)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

①对任意的n∈Z,2n＋1是奇数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的实数是无限不循环小数；

④所有的正方形都是矩形．

(1)解：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

(2)解：①含有全称量词“任意”，故为全称量词命题．

②含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．

③含有存在量词“有的”，故为存在量词命题．

④含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．

研习2　全称量词命题与存在量词命题的真假判断

[典例2]　(1)判断下列全称量词命题的真假：

①所有的有理数都有倒数；

②任何实数都有平方根；

③∀x∈R，使x2＋x＋1>0；

④凸多边形的外角和等于360°.

(2)判断下列存在量词命题的真假：

①存在有理数x，使x2－2＝0；

②存在一个x∈R，使＝0；

③存在x∈Q，使2x－x3＝0；

④∃x∈Z，使3x＋4＝5.

(1)解：①0是有理数，但是0没有倒数，所以此命题是假命题．

②负数没有平方根，所以此命题是假命题．

③对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，所以此命题是真命题．

④凸多边形的外角和等于360°是真命题．

(2)解：①方程x2－2＝0无有理数根，所以该命题是假命题．

②因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．

③x＝0是方程2x－x3＝0的一个有理数根，所以该命题是真命题．

④由于3x＋4＝5成立时，x＝∉Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5，所以该命题是假命题．

全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧

(1)全称量词命题的真假判断．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

(2)存在量词命题的真假判断．要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．

 [练习2](1)判断全称量词命题真假时，真命题容易判断还是假命题容易判断？存在量词命题呢？

(2)下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题？并判断真假．

①在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；

②存在一个实数，它的绝对值不是正数；

③∃x，y∈Z，使3x－4y＝20；

④任何数的0次方都等于1.

(1)解：判断全称量词命题为假比判断其为真容易，只需举出一个反例即可；判断存在量词命题为真比判断其为假容易，只需找到一个特例即可．

(2)解：①全称量词命题，在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．

②存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．

③存在量词命题，取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题．

④全称量词命题，0的0次方无意义，所以该命题是假命题．

研习3　全称量词命题与存在量词命题的应用

[典例3]　(1)已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，3) B．(3，＋∞)

C．(－∞，3]       D．[3，＋∞)

(2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．

[解题探究]　在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义，推理得到参数的取值范围．

(1)答案：C

(2)答案：[0，＋∞)

[延伸探究]　将本例(1)的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．

解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，

所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.

则实数m的取值范围为[1，＋∞)．

利用含量词的命题的真假求参数的取值范围

(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．

(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．

[练习3]已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．

答案：(－∞，5]

课后篇·演练提升方案

1．下列命题是全称量词命题的是(　　)

  A．有的三角形是等边三角形

  B．所有2的倍数都是偶数

  C．有一个实数，使|x|≤0

  D．至少有一个x∈{x|x是无理数}，x2是无理数

答案：B

2．下列命题中是真命题的是(　　)

  A．∃x∈R，x2＋1<0

  B．∃x∈Z,3x＋1是整数

  C．∀x∈R，|x|>3

  D．∀x∈Q，x2∈Z

答案：B

3．下列命题中，是全称量词命题的有________，是存在量词命题的有________．(填序号)

①有的集合的真子集个数为0；②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形；③任意一个集合与空集的交集都是空集；④至少有一个无理数的平方是有理数；⑤所有正数都是实数吗？

答案：②③　①④

4．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．

答案：存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y>1

5．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．

(1)不等式x2－x＋≥0对一切实数x都成立；

(2)存在实数x，使得＝.

解：(1)∀x∈R，x2－x＋≥0恒成立．

x2－x＋＝2≥0，故该命题为真命题．

(2)∃x∈R，使得＝.

因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，

所以≤<.故该命题为假命题．