北师大版（2019）必修第一册1-3-1不等式的性质学案

§3　不等式

第1课时　不等式的性质

课前篇·自主梳理知识

【主题】　不等式的性质

1．实数大小的比较

关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：

a>b⇔________；

a＝b⇔________；

a<b⇔________.

2．不等式的性质

性质1　如果a>b，且b>c，那么a>c.

性质2　如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质3　如果a>b，c>0，那么ac________bc；

如果a>b，c<0，那么ac________bc.

性质4　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

性质5　如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd.

如果a>b>0，c<d<0，那么ac________bd.

特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2.

答案：

1．a－b>0　a－b＝0　a－b<0

2．>　<　>　<

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)若x－1≤0，则x<1.(　　)

(2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)

(3)若a>b，则ac2>bc2.(　　)

(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)

(5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(　　)

(6)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)

答案：

(1)　解析：若x－1≤0，则x<1或者x＝1，即x≤1.

(2)√　解析：任意两数之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种，没有其他大小关系．

(3)　解析：由不等式的性质，ac2>bc2⇒a>b；反之，c＝0时，a>bD⇒/ac2>bc2.

(4)　解析：相乘需要看是否满足而相加与正、负和零均无关系．

(5)√　解析：符合不等式的可乘方性．

(6)　解析：取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．

2．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a－c>b－d   B．ac>bd

C．a＋c>b＋d    D．a＋d>b＋c

答案：C

3．已知x<a<0，则一定成立的不等式是(　　)

A．x2<a2<0       B．x2>ax>a2

C．x2<ac<0        D．x2>a2>ax

答案：B

4．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．

答案：x2＋2>3x

课堂篇·重难要点突破

研习1 　作差法比较大小

[典例1]　比较下列各式的大小：

(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小；

(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．

解：(1)3x3－(3x2－x＋1)

＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝3x2(x－1)＋(x－1)

＝(3x2＋1)(x－1)．

因为x≤1，所以x－1≤0，

而3x2＋1>0.

所以(3x2＋1)(x－1)≤0，

所以3x3≤3x2－x＋1.

(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)

＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1

＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，

所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，

当且仅当x＝y＝，且z＝1时，等号成立．

[解题探究]　本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养．

[延伸探究]　本例(1)中，若把条件“x≤1”去掉，试比较所给两式的大小．

解：去掉条件“x≤1”后需对差的符号进行讨论，

显然3x2＋1>0，所以

当x<1时，(3x2＋1)(x－1)<0，

所以3x3<3x2－x＋1；

当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，

所以3x3＝3x2－x＋1；

当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，

所以3x3>3x2－x＋1.

作差法比较大小的步骤

[练习1]已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－，试比较P，Q的大小．

解：因为P－Q＝2x2－xy＋1－＝x2－xy＋＋x2－2x＋1＝2＋(x－1)2≥0，所以P≥Q.

研习2 　利用不等式的性质判断命题真假

[典例2]　下列命题中一定正确的是(　　)

A．若a<b且<，则ab<0

B．若a>b，b≠0，则>1

C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d

D．若a>b且ac>bd，则c>d

答案：A

运用不等式的性质判断命题真假的技巧

(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．

(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

[练习2]若a>b>c，则下列不等式成立的是(　　)

A．>　 B．<

C．ac>bc        D．ac<bc

答案：B

研习3  利用不等式的性质证明不等式

角度1　基本性质法

[典例3]　已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：

>.

[解题探究]　本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推理的核心素养．

证明：(证法一)因为c<d<0，

所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以0<<，又因为e<0，所以>.

(证法二)－＝＝，因为a>b>0，c<d<0，所以－c>－d>0，所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，所以>0，所以>.

[延伸探究]　题目中条件不变，求证改为>，请证明．

答案：略

角度2　作差法

[典例4]　若a<0，b<0，p＝＋，q＝a＋b.

求证：p≤q.

证明：p－q＝＋－a－b

＝＋＝(b2－a2)

＝＝.

因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.

若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；

若a≠b，则p－q<0，故p<q.

综上，p≤q.

(1)利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，再者利用性质时要注意性质适用的前提条件．

(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件．

[练习3]已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

答案：略

研习4 　利用不等式的性质求取值范围

[典例5]　已知－1<x<4,2<y<3.

(1)求x－y的取值范围；

(2)求3x＋2y的取值范围．

解：(1)因为－1<x<4,2<y<3，

所以－3<－y<－2，

所以－4<x－y<2.

(2)由－1<x<4,2<y<3，得

－3<3x<12,4<2y<6，

所以1<3x＋2y<18.

[解题探究]　本题主要考查不等式的性质，突出考查数学运算与逻辑推理的核心素养．

[延伸探究]　若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．

解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，

则所以

即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，

又因为－1<x＋y<4,2<x－y<3，

所以－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，

所以－<(x＋y)＋(x－y)<，

即－<3x＋2y<，

所以3x＋2y的取值范围为.

利用不等式的性质求取值范围的策略

(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．

(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．

[练习4]已知12<a<60,15<b<36，求a－b与的取值范围．

解：因为15<b<36，所以－36<－b<－15，

所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.

因为15<b<36，所以<<，

所以<<，即<<4.

课后篇·演练提升方案

1．下列说法正确的是(　　)

A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”

C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”

D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”

答案：C

2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)

A．a>b　　　　　　　 B．a<b

C．a≥b        D．a≤b

答案：C

3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小是(　　)

A．a>b>－b>－a

B．a>－b>－a>b

C．a>－b>b>－a

D．a>b>－a>－b

答案：C

4．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A．>　　　　 B．<

C．>  D．<

答案：D

5．有外表一样、质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　)

A．d>b>a>c        B．b>c>d>a

C．d>b>c>a        D．c>a>d>b

答案：A

6．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

答案：[－1,6]

[易错误区]　由不等式的性质判断命题真假

[典例]　(2020·济宁高一检测)对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：

(1)若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；

(2)若ac2>bc2，则a>b；

(3)若a>b，则<；

(4)若a>b，c>d，则ac>bd.

其中正确命题的个数是(　　)

A．1        B．2

C．3        D．4

[解析]　对于(1)，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d，命题正确；

对于(2)，若ac2>bc2，则a>b，命题正确；

对于(3)，若a>b，则<不正确，

如a＝1，b＝－2；

对于(4)，若a>b，c>d，则ac>bd不正确，

如a＝1，b＝－2，c＝3，d＝－4.

综上可得，正确的个数是2个．

[答案]　B

[防范措施]　(1)同向不等式可以相加，不能相减：

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

a>b，c>d a－c>b－d.

(2)同向不等式可以相乘，不能相除：

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

a>b>0，c>d>0 >.