高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法学案设计

第2课时　一元二次不等式及其解法　一元二次不等式的应用

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　一元二次不等式及其解法

1．一元二次不等式的概念

一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．

一元二次不等式的一般表达式是：ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0.

使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．

思考　(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？

(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？

解：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．

2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系

　　思考　仔细观察上表，回答下列问题：

(1)有人说：当Δ>0时，表中的x1，x2有三重身份，你能说出是哪三重身份吗？

(2)当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？

解：(1)x1，x2是一元二次函数图象与x轴交点的横坐标，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点．

(2)R，{x|x＝x1}．

3．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解思路如图：

对于a<0时的一元二次不等式，可以直接类比a>0时的求解思路；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．

【主题2】　一元二次不等式的应用

利用不等式解决实际问题的一般步骤

(1)选取合适的字母表示题中的未知数；

(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；

(3)求解所列出的不等式(组)；

(4)结合题目的实际意义确定答案．

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　)

(3)设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}．(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．(　　)

答案：

(1)　解析：当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．

(2)　解析：若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.

(3)　解析：当二次项系数小于0时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x1<x<x2}．

(4)√　解析：当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．

2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　　)

A．∅        B．R

C．{x|x≠1}     D．{x|x>1或x<－1}

答案：B

3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为________．

答案：{x

4．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药也不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．

答案：

课堂篇·重难要点突破

研习1  解简单的一元二次不等式

[典例1]　解下列不等式．

(1)3x2－5x－2<0；

(2)－3x2＋6x≤2；

(3)4x2－12x＋9>0；

(4)－x2＋6x－10>0.

解：(1)方程3x2－5x－2＝0中，Δ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，因此有两个不相等的实数根，解得x1＝－，x2＝2，作出函数y＝3x2－5x－2的图象，如图1，结合图象可得原不等式的解集为{x.

(2)方程3x2－6x＋2＝0中，Δ＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0有两个不相等的实数根，解得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图2，结合图象可得原不等式的解集为{x.

(3)方程4x2－12x＋9＝0中，因为Δ＝0，所以方程4x2－12x＋9＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝，作出函数y＝4x2－12x＋9的图象，如图3，结合图象可得原不等式的解集为{x.

(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，在方程x2－6x＋10＝0中，因为Δ<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根，所以原不等式的解集为∅.

图1　　　　　　图2　　　　　　图3

[解题探究]　本例考查解一元二次不等式，同时考查逻辑推理与直观想象的核心素养．

[延伸探究]　若把本例(2)改为“0≤x2－x－2≤4”，该如何求解？

解：原不等式可以化为 由①得x≥2，或x≤－1.由②，得－2≤x≤3.

所以不等式组的解集为{x|－2≤x≤－1，或2≤x≤3}．

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)对不等式变形，使一端为零，且二次项系数大于零．

(2)计算相应的判别式．

(3)当Δ>0时，求出相应的一元二次方程的两根．

(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集．

[练习1](1)(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．

(2)解不等式：①2x2－3x－2<0；②x2－2x＋2>0.

(1)答案：

(2)解：①方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2.

因为函数y＝2x2－3x－2是开口向上的抛物线，如下图，所以不等式的解集是{x.

②因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线，如下图，所以原不等式的解集为R.

研习2  　三个“二次”之间的关系

[典例2]　若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．

解：因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可得，

即

所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15≥0，即x2－2x－15a≥0，解得x≤－3，或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3，或x≥5}．

给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．

(1)如果不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|d<x<e}，则说明a<0，且x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，de＝；若解集为{x|x<d，或x>e}，则说明a>0，且x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，de＝.

(2)如果不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|d<x<e}，则说明a>0，且x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，de＝；若解集为{x|x<d，或x>e}，则说明a<0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，de＝.

[练习2](1)一元二次不等式解集与一元二次方程之间有何关系？

(2)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}与不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|－3≤x≤4}中，引起解集不同的原因是什么？

(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

(1)解：一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．

(2)解：a值的正负不同．

(3)解：由ax2＋bx＋c≥0的解集是{x知a<0，又×2＝<0，则c>0.

又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

所以－＝.所以＝－.

又＝－，所以b＝－a，c＝－a.

所以不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，

即2ax2＋5ax－3a>0.

又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0.

所求不等式的解集为{x.

研习3 　解含参数的一元二次不等式

角度1　对“Δ”进行讨论

[典例3]　解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.

解：由题意知，Δ＝4a2－8，

当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．

当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；

当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．

当Δ>0，即a>，或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．

综上所述，

当－<a<时，原不等式的解集为∅；

当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；

当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；

当a>，或a<－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．

角度2　 对“解的大小”进行讨论

[典例4]　解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．

解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.

对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.

①当a>0时，x1>x2，

不等式的解集为{x|－a<x<2a}；

②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；

③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．

综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}；

当a＝0时，原不等式的解集为∅；

当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}．

角度3　对“二次项系数”进行讨论

[典例5]　解关于x的不等式a(x2＋1)≥2x.

解：原不等式可化为ax2－2x＋a≥0.

(1)当a＝0时，不等式化为－2x≥0，解得x≤0.

(2)当a>0时，Δ＝4－4a2＝4(1－a2)．

①当0<a<1时，Δ>0，此时方程ax2－2x＋a＝0有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝，

所以此时x≤，或x≥.

②当a＝1时，不等式化为x2－2x＋1≥0，此时x∈R.

③当a>1时，Δ<0，也有x∈R.

(3)当a<0时，Δ＝4－4a2＝4(1－a2)．

①当－1<a<0时，Δ>0，此时方程ax2－2x＋a＝0有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝，所以此时≤x≤.

②当a＝－1时，不等式化为－x2－2x－1≥0解得x＝－1.

③当a<－1时，Δ<0，此时x∈∅.

综上可知，当a<－1时，不等式的解集为∅.

当a＝－1时，不等式的解集为{x|x＝－1}．

当－1<a<0时，不等式的解集为

{x.

当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}．

当0<a<1时，不等式的解集为

{x.

当a≥1时，不等式的解集为R.

解含参数的一元二次不等式的步骤

[练习3](1)解含参数的一元二次不等式的关键是什么？

(2)解关于x的不等式ax2－x>0.

(1)解：结合二次项系数和Δ值求解不等式的解集．

(2)解：当a＝0时不等式为－x>0，所以x<0.

当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与.

①当a>0时，>0，所以x>，或x<0；

②当a<0时，<0，所以<x<0.

综上，当a>0，不等式的解集为{x；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；

当a<0时，不等式的解集为{x.

研习4  不等式的恒成立问题

角度1　在R上恒成立问题

[典例6]　若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．

[解题探究]　本例主要考查不等式的恒成立问题，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养．

解：要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0，满足题意；

若m≠0，⇒－4<m<0.

所以m的取值范围是{m|－4<m≤0}．

[延伸探究]　本例若把不等式改为“mx2－mx＋1>0”，则m的取值范围为________．

答案：{m|0≤m<4}

角度2　在给定区间上的恒成立问题

[典例7]　若x∈{x|1<x<2}时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．

解：设y＝x2＋mx＋4，图象开口向上，因为当x∈{x|1<x<2}时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以需满足x＝1与x＝2时的函数值同时小于或等于0，即解得m≤－5.

一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法

1．在R上恒成立问题．

ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔

ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔

2．在给定区间上的恒成立问题．

(1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.

(2)a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.

[练习4]已知不等式mx2－2x＋m－2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．

解：当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有解得m<1－，故m的取值范围是{m|m<1－}．

研习5 　一元二次不等式的实际应用

[典例8]　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，

农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，

收购总金额为200a(1＋2x%)元．

依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．

(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．

依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%.

化简得，x2＋40x－84≤0，所以－42≤x≤2.

又因为0<x<10，所以0<x≤2.所以x的取值范围是{x|0<x≤2}．

  解不等式应用题的四步骤

(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，确定不等关系．

(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．

(3)求：解不等式．

(4)答：回答实际问题．

特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．

[练习5](1)解决实际应用问题的一般步骤是什么？

(2)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．

①从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

②若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？

(1)解：审题，建模，解模，检验作答．

(2)解：①设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

则y＝400＋60t－120(0≤t≤24)．

令x＝ ，则t＝，

所以y＝400＋10x2－120x

＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)，

所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．

②由已知400＋10x2－120x<80，

化简得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，

即4<<8，<t<，而－＝8，

所以每天约有8小时供水紧张．

课后篇·演练提升方案

1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　)

A．{x        

B．{x

C．∅        

D．R

答案：D

2．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是{x，则a的值为(　　)

A．－        B．2

C．－2    D．

答案：C

3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)>0的解集为(　　)

A．{x        B．{x|x>a}

C．{x        D．{x

答案：A

4．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

A．100台        B．120台

C．150台        D．180台

答案：C

5．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－a)*(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则(　　)

A．－1<a<1        B．0<a<2

C．－<a<        D．－<a<

答案：C

6．某小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪．现在有一位学生设计了如图所示的方案，则图中道路的宽最大为________米时，可使草坪的面积不小于540平方米．

答案：2