高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值导学案

§3　函数的单调性和最值

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　增函数和减函数的定义

设函数y＝f(x)的定义域是D：

(1)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是________．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上________．

(2)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是________．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上________．

答案：

(1)增函数　单调递增

(2)减函数　单调递减

【主题2】　单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有________．此时，区间I为函数y＝f(x)的________．

答案：

单调性　单调区间

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)在增函数和减函数的定义中，能把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”．(　　)

(2)函数f(x)＝的单调减区间可以写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

(3)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果函数y＝f(x)，对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有<0，则y＝f(x)在A上单调递减．(　　)

答案：

(1)　解析：在判断增函数和减函数时，自变量不能取特殊值，如函数f(x)＝x2，虽然f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是递增的．

(2)　解析：如x1＝－1，x2＝1满足x1<x2，但有f(x1)＝－1<f(x2)＝1不符合单调递减的要求．当函数的单调区间不唯一时，要分开写，中间用“，”隔开或用“和”连接．

(3)√　解析：根据函数单调性的定义可知，<0时，x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即函数y＝f(x)在A上单调递减．

2．下列函数中，在区间(0,3)上单调递增的是(　　)

A．y＝3－x     B．y＝x2＋1

C．y＝        D．y＝－|x|

答案：B　

解析：y＝3－x在(0,3)上单调递减，y＝在(0,3)上单调递减，y＝－|x|在(0,3)上单调递减．

3．函数f(x)＝－x2的单调增区间为(　　)

A．(－∞，0]        B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞)      D．(0，＋∞)

答案：A　

解析：由f(x)＝－x2的图象知，A正确．

4．若f(x)在R上单调递减，且f(x－1)<f(4)，则x的取值范围是________．

答案：(5，＋∞)　

解析：因为f(x)在R上单调递减，且f(x－1)<f(4)，所以x－1>4，所以x>5.

5．若函数f(x)＝－3x＋2，则x∈[3,8]的最大值是________．

答案：－7　

解析：由函数f(x)＝－3x＋2在区间[3,8]上单调递减，可知f(x)max＝f(3)＝－7.

课堂篇·重难要点突破

研习1  利用图象求函数单调区间

[典例1]　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　)

A．[－4,4]        B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]        D．[－3,4]

(2)画出函数y＝|x2－1|的图象，并指出其单调区间．

(1)答案：C

(2)解：∵当x2－1≥0时，x≤－1，或x≥1；

当x2－1<0时，－1<x<1，

∴y＝

画出函数y＝|x2－1|的图象如图．

∴函数y＝|x2－1|的单调区间为(－∞，－1]，[－1，0]，[0,1]，[1，＋∞)．

其中(－∞，－1]，[0,1]是单调递减区间，[－1,0]，[1，＋∞)是单调递增区间．

(1)利用函数图象确定函数的单调区间，具体方法是：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．

(2)利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出了图象，求单调区间就很容易．

特别注意在写单调区间时，不能用“∪”连接，要用“，”或者“和”连接．

[练习1]画出函数f(x)＝ 的图象，并指出函数的单调区间．

解：函数的图象如图所示．

由图象可知，(－∞，－1]，是函数的单调递减区间，，[2，＋∞)是函数的单调递增区间．

研习2　判断或证明函数的单调性

[典例2]　(2020·银川高一检测)判断函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上的单调性，并证明．

[审题路线图]证明单调性⇒定义法．

解：函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，证明如下：

任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－

＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).

因为2<x1<x2，

所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

[延伸探究]　将本例中区间“(2，＋∞)”改为“(0,2)”，判断函数f(x)的单调性，并证明．

解：函数f(x)在(0,2)上是减函数，证明如下：

任取x1，x2∈(0,2)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－

＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).

因为0<x1<x2<2，

所以x1－x2<0,0<x1x2<4，x1x2－4<0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以函数f(x)＝x＋在(0,2)上是减函数．

利用定义法证明函数单调性的步骤

[练习2]判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．

解：设－2<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，

f(x)＝＝a＋，

f(x2)－f(x1)＝－

＝－＝(1－2a).

∵－2<x1<x2，∴<0.

当1－2a>0，即a<时，f(x2)<f(x1)；

当1－2a<0，即a>时，f(x2)>f(x1)．

综上，当a<时，f(x)＝在(－2，＋∞)上为减函数；

当a>时，f(x)＝在(－2，＋∞)上为增函数．

研习3　函数单调性的应用

[典例3]　函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.

(1)求f(2)的值；

(2)解不等式f(m－2)≤3.

[审题路线图]知单调性求参数或应用⇒画图形或赋值应用．

解：(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．

∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，

∴解得m≥4，

∴不等式的解集为{m|m≥4}．

利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧

(1)已知函数解析式求参数：

(2)抽象函数求参数：

①依据：单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)>f(b)⇌a>b(a<b)．

②方法：依据函数单调性的特点去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．

[练习3](1)设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)都有＜0成立，则f(－3)与f(－6)的大小关系为________．

(2)已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________．

(1)答案：f(－3)＜f(－6)　

解析：由题知，＜0，∴f(x)在R上为减函数．又－3＞－6，∴f(－3)＜f(－6)．

(2)答案：　

解析：要使f(x)在R上为减函数，必须同时满足3个条件：

①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；

②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；

③g(1)≥h(1)．

所以解得≤a＜.

课后篇·演练提升方案1.设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)

A．a≥        B．a≤

C．a>－       D．a<

答案：D　

解析：∵f(x)是R上的减函数，∴2a－1＜0，即a＜.

故选D．

2．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，且对称轴是x＝5，那么下列式子成立的是(　　)

A．f(－1)＜f(9)＜f(13)

B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

C．f(9)＜f(－1)＜f(13)

D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

答案：C　

解析：因为f(x)关于直线x＝5对称，又f(x)在(－∞，5)上单调递减，所以f(x)在(5，＋∞)上单调递增，又f(－1)＝f(11)，而f(9)＜f(11)＜f(13)，所以f(9)＜f(－1)＜f(13)．故选C．

3．函数y＝的单调递减区间是________．

答案：(－∞，0)　

解析：y＝x＋1是R上的增函数，y＝－x－1是R上的减函数，∴函数的单调递减区间为(－∞，0)．

4．证明：f(x)＝－在定义域上是减函数．

证明：f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)，

任取x1，x2，使0≤x1＜x2，则x2－x1＞0，

f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)＝－

＝＝.

∵x1－x2＜0，＋＞0，∴f(x2)－f(x1)<0.

∴f(x)＝－在定义域[0，＋∞)上是减函数．

5．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．

解：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，

∴f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2f(3)＝2.

又f(a)>f(a－1)＋2，∴f(a)>f(a－1)＋f(9)，

即f(a)>f[9(a－1)]，

由单调函数性质，得解得1<a<.

∴a的取值范围为.

[误区警示]　混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错

[典例]　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．

[错解]　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4＝(x＋a－1)2＋4－(a－1)2，

∴函数f(x)图象的对称轴为x＝1－a，

又f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，

因此1－a≥4，即a≤－3.

[错因分析]　错解中把单调区间误认为是在区间上单调．

[正解]　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a＝4，即a＝－3.

[答案]　{a|a＝－3}

[防范措施]　(1)正确理解“单调区间”和“在区间上单调”的含义，函数的单调区间是函数单调的最大范围，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．

(2)在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义，结合直观图形，减少错误．