高中北师大版 (2019)2 指数幂的运算性质学案设计

§2　指数幂的运算性质

课前篇·自主梳理知识

【主题】　指数幂的运算性质

1．整数指数幂的运算性质

a，b是正数，m，n是正整数．

(1)am·an＝________；

(2)(am)n＝________；

(3)(ab)m＝________；

(4)当a≠0时，有＝

(5)n＝________(b≠0)．

2．实数指数幂的运算性质

当a＞0，b＞0，α，β∈R，

(1)aα·aβ＝________；

(2)(aα)β＝________；

(3)(ab)α＝________.

答案：

1．(1)am＋n　(2)amn　(3)ambm　(4)am－n　1　a－(n－m)

(5)

2．(1)aα＋β　(2)aα β　(3)aαbα

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)(22) ＝22×.(　　)

(2)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.(　　)

(3)(－a3)2·(－b2)3＝a6b6.(　　)

答案：

(1)　解析：应该继续化简彻底，结果为2.

(2)√　解析：原式＝a7b8.

(3)　解析：原式＝－a6b6.

2．已知m>0，则m·m＝(　　)

A．m        B．m

C．1        D．m

答案：A　

解析：由于m>0，所以m·m＝m＋＝m1＝m.

3．化简的结果是(　　)

A．－    B．

C．－    D．

答案：A　

解析：依题意知x<0，所以＝－＝－.

4．若(x4)3＝e4，则x等于(　　)

A．e        B．－e

C．±e        D．e

答案：C　

解析：因为(x4)3＝(x3)4＝e4，所以x3＝±e，所以x＝±e.

5．把根式化为幂的形式：＝________.

答案：ab　

解析：＝(a2b3)＝ab＝ab.

6．若10a＝5,10b＝8，则10a－b＝________.

答案：　

解析：10a－b＝10a×10－b＝＝.

课堂篇·重难要点突破

研习1  指数幂的运算

[典例1]　计算或化简：

(1)(0.008 1) －－1×－10×0.027；

(2).

解：(1)原式＝0.3－1－3－1×－10×0.3＝－－3＝0.

进行指数幂运算时应注意的问题

(1)化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，即结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负分数．

(2)一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．

[练习1]计算或化简：

(1)0.5＋0.1－2－π0＋；

(2)·(a>0)．

解：(1)原式＝＋100－1＋

＝＋100－1＋＝101.

(2)原式＝(a·a)·[(a－5) ·(a)13]

＝(a0) ·(a·a)＝(a－4) ＝a－2.

研习2  　指数幂的综合应用

[典例2]　已知f(x)＝，且0＜a＜1.

(1)求f(a)＋f(1－a)的值；

(2)求f＋f＋f＋…＋f的值．

解：(1)f(a)＋f(1－a)＝＋＝＋＝＋＝1.

(2)原式＝＋＋…＋＝500.

本题是以函数为框架，结合指数幂的运算性质进行求值的一类问题．解决问题时，应以分析题目的结构特征为重点，兼顾条件与结论的联系，使问题迅速解决．

[练习2]若某牛奶厂在2018年12月份的产值是这1年1月份产值的a倍，求该牛奶厂在2018年度产值的月平均增长率．

解：设2018年度产值的月平均增长率为x，则(1＋x)11＝a，解得x＝－1，所以该牛奶厂在2018年度产值的月平均增长率为－1.

研习3 　利用指数幂的运算性质化简

[典例3]　(1)(2020·台州高一检测)式子(m>0)的计算结果为(　　)

A．1               B．m         

C．m          D．m

(2)化简(a>0)________．

[审题路线图]指数幂的运算性质⇒化简．

答案：

(1)A　(2)a

[延伸探究]　本例(1)中的式子改为(m>0)，结果如何？

解：

1．化简结果的一个要求和两个不能

2．根式运算技巧

(1)各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．

(2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．

提醒：对根式的化简不可出现直接将根指数与被开方数的指数相乘的错误，解题时要先化成分数指数幂，再运算．

[练习3](2020·渭南高一检测) (x>0)化成分数指数幂为(　　)

A．x        B．x

C．x－        D．x

答案：B

研习4  条件因式的求值

[典例4]　已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：

(1)a2＋a－2；(2)a－a；(3)a3＋a－3.

解：(1)解法一：由a＋a－1＝5两边平方，得

a2＋2a·a－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.

解法二：a2＋a－2＝a2＋2a·a－1＋a－2－2a·a－1

＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.

(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，

∴＝，∴a－a＝±.

(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－a·a－1＋a－2)

＝(a＋a－1)(a2＋2a·a－1＋a－2－3)

＝(a＋a－1)[(a＋a－1)2－3]＝5×(25－3)＝110.

1．条件求值问题的两种常用方法

(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体中寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．

(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．

2．解决条件求值问题的步骤

[练习4]已知a2x＝＋1，求的值．

解：∵a2x＝＋1，

∴a－2x＝＝－1，即a2x＋a－2x＝2，

∴＝

＝a2x＋a－2x－1＝2－1.

课后篇·演练提升方案

1.已知x2＋x－2＝2，且x＞1，则x2－x－2的值为(　　)

A．2或－2        B．－2

C．         D．2

答案：D　

解析：设x2－x－2＝t，

由联立解方程组，可得

∵x2·x－2＝1，∴t2＝4.又x＞1，

∴x2－x－2＞0，∴t＝2.故选D．

2．函数f(x)＝(x－5)0＋(x－2) 的定义域是(　　)

A．{x|x∈R，且x≠5，x≠2}

B．{x|x＞2，x∈R}

C．{x∈R|x＞5}

D．{x∈R|2＜x＜5，或x＞5}

答案：D　

解析：由题意得∴2＜x＜5，或x＞5.

故选D．

3．若＋＝0，则yx＝________.

答案：－3　

解析：原式＝|x－1|＋|y＋3|＝0，

∴x＝1，y＝－3，∴yx＝－3.

4．已知x＋y＝12，xy＝9，x＜y，求的值．

解：＝.

因为x＋y＝12，xy＝9，

所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.

因为x＜y，所以x－y＝－.

所以原式＝＝＝－.

5．计算或化简．

解：

[方法技巧]　整体代换在条件求值中的应用

整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运算．

本节中的整体代换主要应用于条件求值．对于条件求值问题，一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法求值．

[典例]　已知a＋a＝，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a3＋a－3.

[思路点拨]　从整体上寻求所求式与已知条件的关系，然后整体代入求值．

[解]　(1)将a＋a＝的两边平方，得

a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.

(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，

∴a2＋a－2＝7.

(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.

[归纳总结]　(1)对此类求值问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后用“整体代换”的方法求值．

(2)求解时要注意：①各式中的隐含条件；②必要时，应先将条件与待求式子进行化简，有利于求值．