高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解导学案

第2课时　利用二分法求方程的近似解

课前篇·自主梳理知识

【主题】　二分法

1．二分法的概念

对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的________，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为________．

2．二分法求方程近似解的过程

“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间；

新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．

在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选得不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．

若方程f(x)＝0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．

答案：

1．中点　二分法　2.中点函数值为0　精确度

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值．(　　)

(2)函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点．(　　)

(3)用二分法求方程的根时，得到的都是近似解．(　　)

答案：

(1)　解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件．

(2)　解析：f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点．

(3)　解析：用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解．

2．用二分法求函数f(x)＝3x－7的零点时，初始区间可选为(　　)

A．(－1,0)      B．(0,1)

C．(1,2)        D．(2,3)

答案：C　

解析：f(－1)＝3－1－7＝－7＝－<0，

f(0)＝30－7＝1－7＝－6<0，f(1)＝31－7＝－4<0，

f(2)＝32－7＝9－7＝2>0，

故函数f(x)的零点在区间(1,2)上，故初始区间可选为(1,2)．

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.1)为(　　)

A．1.2        B．1.3

C．1.4        D．1.5

答案：C　

解析：因为f(1.375)<0，f(1.437 5)>0，所以f(1.375)·f(1.437 5)<0,1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以区间[1.375,1.437 5]内任意一个值都可以是f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点近似值．

所以1.4为其一个近似根．

课堂篇·重难要点突破

研习1 　二分法的概念

[典例1]　(1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

(2)如图，f(x)的图象与x轴有一个交点，如何求方程f(x)＝0的解？假设在区间[－1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(－1)·f(5)<0，如何按照二分法的思想求方程f(x)＝0的一个解？

[审题路线图]函数零点满足的条件⇒二分法求解．

(1)答案：B

(2)解：取[－1,5]的中点2，因为f(5)<0，f(2)>0，即f(2)·f(5)<0，所以在区间[2,5]内有方程的解．于是再取[2,5]的中点3.5……这样继续下去，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中的点的函数值总不等于零．那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．

[延伸探究]　(1)本例(2)中如果不给精度，用二分法能一定求出零点吗？

(2)假设方程有一个近似解在区间[a，b]内，那么当区间的长度b－a的值满足什么条件时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解？为什么？

(1)解：不一定．若该零点是一个无理数或无限循环小数，则不一定，若取中点恰巧为零点，则能求出．

(2)解：当b－a≤ε，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．因为任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－|<ε.

二分法的适用条件

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

[练习1]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A．4,4        B．3,4

C．5,4        D．4,3

答案：D

研习2 　用二分法求函数零点的近似值

[典例2]　用二分法求f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]上的一个零点的近似值．(精度为0.01)

解：为使根c的近似值xn达到精度0.01，

根据|xn－c|≤＝<0.01＝，所以n>5.取n的最小值为6，即求出x6可达到精度．

由f(1)<0，f(1.5)>0可取区间[1,1.5]为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

1.328 125－1.320 312 5＝0.007 812 5<0.01，因此在这区间内的任意一个数都是满足精度的近似解，故所求根的近似值x6＝×(1.320 312 5＋1.328 125)≈1.324.

虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性．若|an－bn|<2ε，则区间和的长度都小于ε，所以在计算此类问题时应注意对精度的要求．

[练习2]若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精度0.04)为(　　)

A．1.5        B．1. 25

C．1. 375   D．1.4375

答案：D　

解析：由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D．

研习3 　用二分法求方程的近似解

[典例3]　求方程lg x＝x－1的近似解(精度为0.1)．

[审题路线图]计算或数形结合大致判断出根所在的范围⇒二分法确定．

答案：

近似解为x≈0.562 5.

[延伸探究]　(1)若本例条件不变，方程近似解的初始区间为(0,1)，精度为0.01，则需把区间(0,1)几次“二等分”？

(2)若本例方程变为3x＋＝0，求方程的近似解(精度不变)．

(1)解：假设“二等分”n次，则<0.01，即2n>100，

所以n>log2 100＝≈≈7(次)．

故需把区间(0,1)7次“二等分”．

(2)近似解可取为－0.376.

用二分法求方程的近似解应明确两点

(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．

(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项将其转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．

[练习3]求方程lg x＝3－x的近似解．(精度为0.1)

解：分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．

由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．

设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：

f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈[2,3]；

f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈[2.5,3]；

f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈[2.5，2.75]；

f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈[2.5，2.625]；

f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈[2.562 5，2.625]．

因为2.625－2.562 5＝0.062 5<0.1，所以在区间[2.562 5，2.625]内的任意一个数都是满足精度的近似解，故此方程的近似解可取为2.625.

课后篇·演练提升方案

1．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0且f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)

A．一定有零点　　　　　　B．一定没有零点

C．可能有两个零点        D．至多有一个零点

答案：C　

解析：设f(x)＝x2＋2x－3，若a＝－4，b＝2，则有f(－4)＞0，f(2)＞0，但在区间(－4，2)上有两个零点－3，1.故应选C．

2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在的区间是(　　)

A．(1,1.25)        B．(1.25,1.5)

C．(1.5,2)        D．不能确定

答案：B　

解析：∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴零点在(1.25，1.5)内．故应选B．

3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在x0，使f(x0)＝0，则a的取值范围是(　　)

A．－1<a<    

B．a>

C．{a        

D．{a|a<－1}

答案：C　

解析：一次函数f(x)在(－1,1)上存在x0使f(x0)＝0，则f(－1)·f(1)<0，即(a＋1)(1－5a)<0，∴a>，或a<－1.故应选C．

4．若关于x的方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－1,1)和(1,3)内各有一个实根，求实数k的取值范围．

解：由题意，设f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3，

则

即

解得k＜－4或k＞2.

即实数k的取值范围为{k|k＜－4，或k＞2}．

[误区警示]　对“二分法”精度的理解不清致误

[典例]　用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解．(精度为0.1)

[错解]　令f(x)＝x2－5，

因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，

f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，

所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，

f(2.3)＝2.32－5＝0.29＞0，

因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，

再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，

f(2.25)＝0.062 5＞0，

因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)，

同理可得x0∈(2.225,2.237 5)，

又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，

且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，

所以原方程的非负近似解可取为2.225.

[错因分析]　本题错解的原因是对精度的理解不正确，精度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|＜ε.

[正解]　令f(x)＝x2－5，由于f(2)＝－1＜0，f(3)＝4＞0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

根据上表计算，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5＜0.1，所以在这区间内的任意一个数都是满足精度的近似解，故这个区间的两端点值就可作为近似值，所以其近似值为2.187 5.

[防范措施]　求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．精度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精度，可停止计算；否则，应继续计算，直到|a－b|＜ε为止．