高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征导学案

§4　用样本估计总体的数字特征

第1课时　样本的数字特征

课前篇·自主梳理知识

【主题】　样本的数字特征

1．平均数、中位数、众数

(1)平均数：一组数据的平均值．如果n个数为x1，x2，…，xn，那么＝________.

(2)中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数．它使数据被分成的两部分的数据量是一样的．

(3)众数：一组数据中出现次数________的数据．

2．方差、标准差及其计算公式

方差刻画数据的________．

方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

方差的算术平方根s＝_________________________________________________为标准差．

答案：1.(1)(x1＋x2＋…＋xn)　(3)最多

2．离散程度

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　)

(2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．(　　)

(3)在样本数据中，频率分布最高点所对应的样本数据是众数．(　　)

(4)方差越大，数据的稳定性越强．(　　)

(5)方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和．(　　)

答案：(1)　(2)　(3)√　(4)　(5)

2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为(　　)

A．减少计算量      B．避免故障

C．剔除异常值      D．活跃赛场气氛

答案：C　

解析：因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．

3．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639

乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是(　　)

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

答案：A　

解析：甲＝＝0.617，乙＝＝0.613，

∴甲与0.618更接近．

4．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数    B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数    D．众数＝中位数＝平均数

答案：D　

解析：众数为50，平均数＝×(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为×(50＋50)＝50.

5．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为(　　)

A．4.55      B．4.5      C．12.5      D．1,64

答案：A　

解析：＝≈4.55.

6．已知5个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为(　　)

A．1  B.  C.  D．2

答案：B　

解析：＝＝5，

s2＝＝2，

所以s＝.

课堂篇·重难要点突破

研习1　众数、中位数、平均数的计算

[典例1]　某工厂人员及周工资构成如下表：

(1)求工厂人员工资的众数、中位数、平均数；

(2)平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？

[审题路线图]众数、中位数、平均数⇒结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数．

解：(1)由题中表格可知：众数为1 200元，中位数为1 220元，平均数为(2 200＋1 250×6＋1 220×5＋1 200×10＋490)÷23＝1 230(元)．

(2)虽然平均数为1 230元，但从题干表格中所列出的数据可见，只有经理和6名管理人员的周工资在平均数以上，其余的人的周工资都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．

平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再找出中间的数据；众数是一组数据中出现次数最多的数．

提醒：如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．

[练习1]据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．(精确到1元)

(2)假设副董事长的工资从8 000元提升到20 000元，董事长的工资从9 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到1元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

解：(1)平均数是

＝4 000＋×(5 500＋4 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋1 000×3＋0×20)≈4 000＋1 061＝5 061(元)．

中位数是4 000元，众数是4 000元．

(2)平均数是＝4 000＋×(26 000＋16 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋1 000×3＋0×20)≈4 000＋2 045＝6 045(元)．

中位数是4 000元，众数是4 000元．

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

研习2　方差和标准差

[典例2]　(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数为8,9,10,13,15，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

(2)某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如表：

①求两人比赛成绩的平均数以及方差；

②分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛，选谁更合适？

[审题路线图]与方差有关的问题⇒根据数据特征选择公式求出方差，然后根据实际问题比较方差的大小．

(1)答案：6.8　

解析：由题意知，

＝＝11，

所以s2＝×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.

(2)解：①设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，

则甲＝130＋×(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，

乙＝130＋×(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，

s＝×[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，

s＝×[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝.

②由①知，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛更合适．

1．用样本的标准差、方差估计总体的方法

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．

2．标准差(方差)的作用

在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．

[练习2](1)甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如下表所示．v1，v2分别表示甲、乙二人的平均得分，s1，s2分别表示甲、乙二人得分的方差，那么v1和v2，s1和s2的大小关系是(　　)

A．v1>v2，s1>s2  B．v1<v2，s1>s2

C．v1>v2，s1<s2  D．v1<v2，s1<s2

(2)甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

①分别计算两组数据的平均数及方差．

②根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．

(1)答案：C　

解析：由题表，得

v1＝×(9＋13＋14＋20)＝14，

v2＝×(8＋9＋13＋22)＝13，

s1＝×[(9－14)2＋(13－14)2＋(14－14)2＋(20－14)2]＝，

s2＝×[(8－13)2＋(9－13)2＋(13－13)2＋(22－13)2]＝.

所以v1>v2，s1<s2.

(2)解：①甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，

s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

②由①知甲＝乙，比较它们的方差，因为s>s，故乙机床加工零件的质量更稳定．

研习3　频率分布直方图与数字特征的综合应用

[典例3]　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数．

[审题路线图]利用频率分布直方图求众数、中位数⇒众数、中位数分别是频率分布直方图中最高的小矩形的中间值、累计频率为0.5时所对应的样本数据的值．

解：(1)由题图知，众数为＝75.

(2)由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.

[延伸探究]　(1)若本例条件不变，求数学成绩的平均分．

(2)本例条件不变，求80分以上的学生人数．

解：(1)由题图知，这次数学成绩的平均分为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.

(2)[80,90)分的频率为：0.025×10＝0.25，

频数为：0.25×80＝20.

[90,100]分的频率为：0.005×10＝0.05，

频数为：0.05×80＝4.

所以80分以上的学生人数为20＋4＝24.

众数、中位数、平均数与频率分布直方图、频率分布直方图的关系

(1)众数：众数用频率分布直方图中频率最高的一小组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于组中值与对应频率之积的和．

提醒：因为频率分布直方图不能体现样本数据，因此由频率分布直方图得到的中位数不一定在样本数据中出现．

课后篇·演练提升方案

1．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)

A．中位数   B．平均数

C．方差   D．极差

答案：A　

解析：中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，而平均数、方差、极差均可能受影响．故选A.

2．已知样本x1，x2，x3的方差是s2，则样本4x1,4x2,4x3的方差是(　　)

A．4s2  B．16s2  C．s2  D．s2＋4

答案：B　

解析：∵s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2]，

∴[(4x1－4)2＋(4x2－4)2＋(4x3－4)2]＝16s2.故选B.

3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)

A．85,85,85  B．87,85,86

C．87,85,85  D．87,85,90

答案：C　

解析：将小组的成绩由低到高排列起来，根据平均数、众数、中位数的定义分别求值．故选C.

4．(2020·潍坊高一检测)对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.

①这组数据的众数是3；

②这组数据的众数与中位数的数值不相等；

③这组数据的中位数与平均数的数值相等；

④这组数据的平均数与众数的值相等．

其中正确的结论的个数(　　)

A．1      B．2

C．3      D．4

答案：A　

解析：在这11个数据中，数据3出现了6次，次数最多，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数＝＝4.

5．已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．

答案：6　5　

解析：因为中位数为5，所以＝5，即x＝6.

所以该组数据的众数为6，平均数为

＝5.

6．甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)：

甲：10.2　10.1　10.9　8.9　9.9　10.3　9.7　10　9．9　10.1

乙：10.3　10.4　9.6　9.9　10.1　10　9.8　9.7　10．2　10

分别计算上面两组数据的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．

解：甲＝×(10.2＋10.1＋10.9＋…＋10.1)＝10(mm)，

乙＝×(10.3＋10.4＋9.6＋…＋10)＝10(mm)，

s甲＝

＝＝0.477(mm)，

s乙＝

＝＝0.245(mm)．

∵甲＝乙＝10(mm)，甲＞乙，

∴乙比甲稳定，用乙较合适．

[规范解答]　用样本平均数估计总体平均数

[典例]　(2020·莆田高一检测)国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定，居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35 微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75 微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

　　(1)试确定x，y的值，并写出该样本的众数和中位数；(不必写出计算过程)

(2)作出相应的频率分布直方图；

(3)求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？ 说明理由．

[规范解答]　(1)x＝4，y＝0.3，

众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．

(2)其频率分布直方图如图所示：

(3)样本的平均数为7.5×0.1＋22.5×0.3＋37.5×0.2＋52.5×0.2＋67.5×0.1＋82.5×0.1＝40.5(微克/立方米)．

因为40.5>35，所以去年该居民PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该民居区的环境需要改进．

[条件分析]　可用40天PM2.5的24小时平均浓度的平均数来估计PM2.5的年平均浓度．根据样本容量为40，可求x，根据频率和为1可求y.

[失分警示]

[防范措施]

1．中位数的求法

在频率分布直方图中，中位数的左右两边的小长方形的面积和相等，据此可求中位数的大小，如本例可据此估计中位数．

2．平均数的求法

在频率分布直方图中可用每组的中点与本组频率的乘积的和来估计平均数，如本例即可应用此法求平均数．

3．样本估计总体的思想

用样本的数字特征估计总体的数字特征这是统计学的基本思想，如本例(3)中把样本平均数看作年平均数．

[类题试解]

我国是世界上缺水严重的国家之一，如北京、天津等大城市缺水尤其严重，所以国家积极倡导节约用水，某公司为了解一年内用水情况，抽查了10天的用水量如下表：

根据表中提供的信息解答下列问题：

(1)这10天中，该公司用水的平均数是多少？

(2)这10天中，该公司每天用水的中位数是多少？

(3)你认为应该使用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？

[解]　(1)＝×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51.

(2)中位数＝＝42.5.

(3)用中位数42.5来描述该公司的每天用水量较合适，因为平均数受极端数据22,95的影响较大．