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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型学案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型学案,共10页。

    §2 古典概型

    1课时 古典概型

    课前篇·自主梳理知识

     

    【主题】 古典概型

    1.对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0P(A)1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A________.概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.

    2.一般地,若试验E具有如下特征:

    (1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;

    (2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.

    则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.

    3.对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为

    P(A)__________________________.

    答案:1.概率  3. 

    [自我检测]

    1.思维辨析(对的打“√”,错的打)

    (1)从装有三个大球、一个小球的袋子里取出一球的实验是古典概型.(  )

    (2)用抽签法从班里抽取一年学生代表,结果为男代表或女代表这是一古典概型.(  )

    (3)若一次试验的样本空间的样本点数为n,则每个样本点出现的概率为.(  )

    答案:(1) (2) (3)

    2.下列试验中,是古典概型的有(  )

    A.某人射击中靶或不中靶

    B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

    C.四位同学用抽签法选一人参加会议

    D.运动员投篮,观察是否投中

    答案:C 

    解析:A中,某人射击中靶与不中靶的概率不相等,所以A不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,所以B不是古典概型;C中,每个人被选中的可能性相等,且共有4种结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,运动员投篮投中与没有投中的概率不相等,所以D不是古典概型.

    3.若书架上放有中文书五本,英文书三本,日文书两本,则抽出一本外文书的概率为(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案:D 

    解析:抽到的外文书,可能是英文书或日文书,所以P.

    4.从1,2,3中任取两个数字,设取出的数字中含有3为事件A,则P(A)________.

    答案: 

    解析:1,2,3中任取两个数字有(1,2)(1,3)(2,3),共3个基本事件;事件A包含(1,3)(2,3),共2个基本事件,则P(A).

     

    课堂篇·重难要点突破

    研习1 古典概型的概念

    [典例1] 向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,这是古典概型吗?

    解:不是古典概型.因为事件的个数不是有限个.

    古典概型的判定方法

    判断一个事件是否是古典概型,关键看该事件是否具备古典概型的两大特征:

    (1)有限性——在一次试验中,所有可能出现的基本事件只有有限个,例如,从自然数集中任选一个数,把它和5比较大小,因为所有可能的结果有无限多个,所以该试验不是古典概型.

    (2)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等,例如,在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽,这个试验的结果只有发芽不发芽两种,但这两种结果出现的可能性一般不是均等的,所以该试验也不是古典概型.

    [练习1]某射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,,命中1环和命中0(即不命中).你认为这是古典概型吗?

    解:不是古典概型.因为每一事件发生的可能性不相等.

    研习2 利用古典概型公式求概率

    [典例2] 袋中装有6个形状完全相同的小球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:

    (1)事件A:取出的两球都是白球;

    (2)事件B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.

    解:4个白球的编号为1,2,3,42个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6),共15种.

    (1)从袋中的6个小球中任取两个,所取的两球全是白球的方法总数,即是从4个白球中任取两个的方法总数,共有6种,即为(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)

    故取出的两个小球全是白球的概率为P(A).

    (2)从袋中的6个小球中任取两个,其中一个是红球,而另一个是白球,其取法包括(1,5)(1,6)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6),共8种.

    故取出的两个小球一个是白球,另一个是红球的概率为P(B).

    [延伸探究] 本题用什么方法可得到概率和基本事件?

    答案:求概率可用概率公式P(A),而基本事件可

    用列举法表示出来.

    古典概型概率的计算方法

    P(A)既是等可能性事件的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法.

    P(A)时,首先要判断题中试验是否是古典概型,若是,则按以下步骤计算:

    (1)算出基本事件总个数n

    (2)算出事件A包含的基本事件的个数m

    (3)算出事件A的概率,即P(A).

    可见在运用公式计算时,关键在于求出mn.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.

    [练习2]将骰子抛掷两次,计算:

    (1)一共有多少种不同的结果;

    (2)其中向上的数之和是5的结果有多少种;

    (3)向上的数之和是5的概率是多少.

    解:(1)将骰子抛掷一次,落地时向上的数有1,2,3,4,5,6这六种结果,所以抛掷两次共有6×636()结果.

    (2)在上面结果中,向上的数之和为5的有(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)四种.

    (3)由于所有36种结果是等可能的,出现向上的数之和是5的结果有4种,因此所求概率P.

    研习3 利用树状图解古典概型问题

    [典例3] 袋中有红、黄、白色球各1个,每次任取一个,有放回地抽取三次,求基本事件的个数.并计算下列事件的概率:

    (1)三次颜色各不相同;

    (2)三次颜色不全相同;

    (3)三次取出的球无红色或无黄色.

    解:画出树状图如图所示:

    由树状图得基本事件总个数为27.

    (1)记事件A三次颜色各不相同n27m6,则P(A).

    (2)记事件B三次颜色不全相同n27m24,则P(B).

    (3)记事件C三次取出的球无红色或无黄色n27m15,则P(C).

    用树状图解决古典概型概率的条件

    当事件个数没有很明显的规律,并且涉及的基本事件又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.

    [练习3]ABCD四位贵宾,应分别坐在abcd四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就坐时:

    (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;

    (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;

    (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.

    解:ABCD四位贵宾就座情况用下面图形表示.

    如上图所示,本题中的等可能基本事件共有24个.

    (1)设事件A这四人恰好都坐在自己的席位上,事件A只包含1个基本事件,所以P(A).

    (2)设事件B这四人恰好都没坐在自己的席位上,则事件B包含9个基本事件,所以P(B).

    (3)设事件C这四人恰好有1位坐在自己的席位上,则事件C包含8个基本事件,所以P(C).

    课后篇·演练提升方案

    1.下列关于古典概型的说法中正确的是(  )

    试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个事件出现的可能性相等;每个基本事件出现的可能性相等;基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A).

    A②④      B①③④      C①④      D③④

    答案:B 

    解析:根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,不正确.

    2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(xy)表示结果,记A所得点数之和小于5,则事件A包含的基本事件数是(  )

    A3  B4  C5  D6

    答案:D 

    解析:事件A包含的基本事件有6个:(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)

    3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为(  )

    A.  B.  C.  D1

    答案:C 

    解析:从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲、乙)(甲、丙)(乙、丙)3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P.

    4.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是________

    答案: 

    解析:任取两球,共有6种等可能的结果:(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4),而数字之和为5的共有2种:(1,4)(2,3),所以数字之和为5的概率P.

    5.现从ABCDE五人中任选三人参加一个重要会议,五人被选中的机会相等.求:

    (1)A被选中的概率;

    (2)AB同时被选中的概率;

    (3)AB被选中的概率.

    解:ABCDE五人中任选三人参加会议共有以下10种结果:(ABC)(ABD)(ABE)(ACD)(ACE)(ADE)(BCD)(BCE)(BDE)(CDE),且每种结果出现是等可能的.

    (1)事件A被选中共有6种结果,故所求事件的概率为P10.6.

    (2)AB同时被选中共有3种结果,故所求事件的概率为P20.3.

    (3)AB被选中AB两人至少有一个被选中,共有9种结果.

    故所求事件的概率为P30.9.

     

    [易错误区] 古典概型的应用

    [典例] (2020·南京高一检测)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校21女,乙校12女.

    (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;

    (2)若从报名的6名教师中任取2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

    [] 甲校2名男教师分别用AB表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,2名女教师分别用EF表示.

    (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:

    (AD)(AE)(AF)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF),共9种,

    从中选出2名教师性别相同的结果有:(AD)(BD)(CE)(CF),共4种,

    所以选出的2名教师性别相同的概率为.

    (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:

    (AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(D

    E)(DF)(EF),共15种.

    从中选出2名教师来自同一学校的结果有:

    (AB)(AC)(BC)(DE)(DF)(EF),共6种,

    所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.

    [防范措施]

    1加强分类讨论的意识

    在写基本事件的所有结果时,如果涉及因素较多且有不同特征时,要注意分类讨论思想在解题中的应用,以免基本事件发生重复或遗漏.

    2常用技巧的应用

    (1)求解一些较为简单、基本事件个数不是太多的概率问题,一般需要用枚举法计算概率.

    (2)对于稍微复杂的问题,可采用树状图法,一次写出所有基本事件.

    3注意答题的规范性

    在求解概率问题的解答题时,必须写出必要的文字说明,否则会扣掉不必要的分数.

     

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