数学必修 第一册3 频率与概率学案

§3　频率与概率

§4　事件的独立性

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　频率与概率

频率与概率

在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的________，记作P(A)．显然，________≤P(A)≤________.我们通常用频率来估计概率．

答案：常数　概率　0　1

【主题2】　事件的独立性

事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．

两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即

P(AB)＝________.

若事件A与事件B相互独立，则

P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)

＝P(A)[1－P(B)]

＝P(A)P()．

又因为P(A)＋P(AB)＝P(A)，

所以P(A)＝P(A)P()．

上面的讨论表明，如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．于是，由事件A与事件B相互独立，可以得到事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立．由事件与事件B相互独立，再次利用上述结果，可以得到事件与事件相互独立．

答案：P(A)P(B)

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的．(　　)

(2)某厂的产品合格率为90%，现抽取10件检查，其中必有9件合格．(　　)

(3)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　)

(4)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　)

(5)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　)

答案：(1)　(2)　(3)√　(4)√　(5)√

2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9

[23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12

[35.5,39.5)　7　[39.5,43.5)　3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案：B

3．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．

答案：0.56

4．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________．

答案：(1－a)(1－b)

课堂篇·重难要点突破

研习1　频率与概率的关系

[典例1]　某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：

贫困地区：

发达地区：

(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率，完成表格；

(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；

(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．

解：(1)贫困地区：

发达地区：

(3)贫困地区经济不发达、生活水平低，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来人的智力差别的原因．

[延伸探究]　(1)频率的计算公式是什么？

(2)如何估计概率？

解：(1)频率＝

(2)从频率估计出概率

正确理解频率与概率之间的关系

(1)随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，我们把这个常数叫作这个随机事件的概率，概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．

(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．又如：如果一枚硬币是均匀的，全班每人做了10次抛币试验，得到正面朝上的频率可以是不同的，但抛硬币出现正面朝上的概率都是0.5，与做多少试验无关．

[练习1]从某厂家随机抽取的某批台球质量检查情况如下表所示：

(1)计算表中台球优等品的频率；

(2)从这批台球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率约是多少？ (保留两位有效数字)

解：(1)依据公式可算出表中优等品的频率依次为0.9，0.92，0.97,0.94，0.954，0.951.

(2)表中的频率都在常数0.95的附近摆动，所以在该厂抽取一个台球进行质量检查为优等品的概率约为0.95.

研习2　概率的意义

[典例2]　某医院对一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？

[分析]　概率是一种可能性，可以看作是频率在理论上的期望值．

解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有10%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈是可能的，对于第10个人来说，其结果仍然是随机的，既有可能治愈，也有可能没有治愈．

理解概率的意义应关注的三个方面

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．

(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．

(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．

[练习2]试判断下列说法是否正确．

(1)设某厂产品的次品率为2%，则从该厂产品中任意抽取100件，其中一定有2件次品；

(2)若在某次生物考试中，全班50人的及格率为80%，则从该班中任意抽取10人，其中有5人及格是可能的．

解：(1)这种说法是不正确的．

理由：产品的次品率是2%是指产品中的次品占总数的比例的可能性是2%，不是一定有2%的次品，所以从该厂产品中任意抽取100件，可能有2件次品，而不是一定有2件次品．

(2)这种说法是正确的．

理由：考试中学生的及格率为80%是指学生中有80%的人成绩是及格的，即全班50人中有40人的成绩及格，有10人的成绩不及格，抽取10人的成绩是一个随机事件，及格的人数的所有可能结果为：0,1,2,3，…，10，因此“在抽取的10人中恰有5人成绩及格”是可能的．

研习3　生活中的概率

[典例3]　在天气预报中，有降水概率预报，比如“明天降水的概率为85%”，这句话的意思是85%的地区降水，15%的地区不降水吗？

[分析]　降水概率是指降水的可能性的大小．

解：“明天降水的概率为85%”是指降水的机会是85%，而不是85%的地区降水，15%的地区不降水．降水是一个随机事件，随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生，所以降水概率为85%指降水的可能性为85%.也就是说明天可能下雨，也可能不下雨，并且如果明天不下雨也不能说明天气预报是错误的．

对生活中常见的概率问题的解释

概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以用概率知识作出合理的判断与决策．

(1)天气预报的概率解释

例如，北京今天降水的概率是60%，上海降水的概率是70%，在一次试验中，“降水”这个事件是否发生是随机的，既不能理解成有60%(或70%)的区域降水，也不能理解成有60%(或70%)的时间降水．当然也有可能是北京今天降水了，而上海却没有降水．上海降水的概率大于北京降水的概率，只是说明上海今天降水的可能性比北京的大，并不能说明上海今天一定降水，如果北京今天降水了而上海没有降水，即可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生，那么这正是随机事件发生的不确定性的体现．

(2)掷硬币的概率解释

掷1枚硬币，出现“正面朝上”的概率为，是指大量重复该试验时，出现“正面朝上”的频率在附近摆动．若1枚硬币掷了1 000次，则大约有500次出现“正面朝上”，而不是指1枚硬币掷2次恰好出现1次“正面朝上”．

(3)摸球顺序的概率解释

若口袋中有2个白球和2个黑球，且这4个球除颜色外完全相同，四人依次从中摸取1球，当试验次数较少时，四人摸到白球的频率的差异比较大，但是，当试验次数很大时，分别用四人摸到白球的频率估计出四个人摸到白球的概率，它们的差异是比较小的，因此，摸出白球的概率与摸球顺序无关．

(4)体育彩票中奖的概率解释

体育彩票中，为了保证公平，开奖用的36个球应该是均匀的、没有任何差别的，原则上每期摇奖都应该使用新球，除非能保证用过的球仍和新球一样．这样每次摇奖摇出任何一个号码的可能性都是相同的，并且这次摇奖摇出哪个号码与下次摇奖摇出哪个号码是互不影响的(这次摇奖与下次摇奖是独立的)．所以，以前抽奖的结果对今后的抽奖结果没有任何影响．

[练习3]某学校高一年级举行足球比赛．在比赛前，体育老师用抛硬币的方法来确定发球权，请你用概率知识判断体育老师的方法是否合理．

解：当硬币抛出后，正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，所以两队取得发球权的概率也都是0.5，所以体育老师的方法是合理的．

研习4　概率的应用

[典例4]　一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球，从箱中抽到白球的概率是99%，抽到黑球的概率是1%，现在从中随机抽出一球，试估计这个球是白球还是黑球．

[分析]　当随机事件的概率很大时，事件发生的可能性就很大，可以根据这个情况推测随机试验的结果．

解：从箱子中随机取一球，取到的球是白球的概率99%比取到黑球的概率1%要大得多．因此从箱子中随机取出一球，取到白球的可能性比取到黑球的可能性要大，所以估计取出的球是白球．

1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性，概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．

2．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小，小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生．

3．在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，在分析、解决有关实际问题时，要善于运用这一思想方法来进行科学的决策．

[练习4]某学校高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班，有人提议用下面的方法：先后掷两个骰子，得到的朝上一面的点数和是几就选几班，请你用概率知识说明此方法是否公平．

解：先后掷甲、乙两个骰子，计算点数之和，则共有如下36种情况，如下表所示：

由表知选中二到十二班的概率分别为，，，，，，，，，，，因此这种方法是不公平的．

研习5　事件的独立性

[典例5]　甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：

(1)两人都译出密码的概率；

(2)两人都译不出密码的概率；

(3)恰有一人译出密码的概率；

(4)至多有一人译出密码的概率；

(5)至少有一人译出密码的概率．

解：记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.

(1)设事件C表示“两个人都译出密码”，则C＝AB.因为A与B相互独立，所以

P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

(2)设事件D表示“两个人都译不出密码”，则D＝ .因为A与B相互独立，所以与也相互独立．因此

P(D)＝P( )＝P()P()

＝[1－P(A)][1－P(B)]

＝

＝.

(3)设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E＝A＋B，且两个事件A与B彼此互斥，因此

P(E)＝P(A∪B)

＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)

＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)

＝×＋×

＝.

(4)设事件F表示“至多有一人译出密码”．

解法一：事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一个译出密码”的并事件，所以F＝D∪E，且D与E彼此互斥，因此

P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝＋＝.

解法二：事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以＝C，因此

P(F)＝1－P()＝1－P(C)＝1－＝.

(5)设事件G表示“至少有一人译出密码”．

解法一：事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G＝C∪E，且C与E彼此互斥，因此

P(G)＝P(C∪E)＝P(C)＋P(E)＝＋＝.

解法二：事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以＝D，因此

P(G)＝1－P()＝1－P(D)＝1－＝.

课后篇·演练提升方案

1．下列说法不正确的是(　　)

①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小；

②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；

③频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，随着试验次数增加，频率一般会稳定在概率值附近；

④频率与实验的次数无关．

A．②③  B．①③

C．①④  D．②④

答案：D

2．某班级共56人，在第一模块的学分考试中，有8人没通过．若用A表示“参加补考”这一事件，则A的(　　)

A．概率为   B．频率为 

C．频率为8   D．概率接近

答案：B　

解析：由频率定义知，频率为＝.

3．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率(　　)

A．事件A，B同时发生

B．事件A，B至少有一个发生

C．事件A，B至多有一个发生

D．事件A，B都不发生

答案：C　

解析：P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多一个发生的概率．　　　

4．解释下列概率的含义．

(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；

(2)在一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.

解：(1)说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，该厂的100件产品中大约有90件是合格品．

(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．

[易错误区]　频率与概率混淆

[典例]　把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的频率为________．故掷一次硬币正面朝上的概率是________．

[错解]　由题意，根据频率计算公式，得硬币正面朝上的频率为＝0.498，故掷一次硬币正面朝上的概率是0.498.

[错因分析]　错解混淆了频率与概率的概念，0.498仅是正面朝上的概率的估计值，不能把0.498看成概率．

[正解]　通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率在常数0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率为0.5.

[答案]　0.5