高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念课时作业

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念课时作业

【精选】3.1 对数函数的概念-2同步练习一．填空题1．为实数，只要满足条件，就有不等式恒成立，则k的最大值是__________．2．函数的定义域为___________.3．已知（，），若对任何，都有成立，则a的取值范围是___.4．_________.5．函数在区间单调递减，则的取值范围是___________．6．函数的反函数为________7．函数的定义域为______.8．若有最大值且最大值不小于，则实数a的取值范围为__________．9．对于实数a，b，c，d，定义.设函数，则方程的解为____.10．已知，则的解析式为________.11．函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．12．给出下列命题：①函数与互为反函数，其图象关于直线对称；②已知函数，则；③当且时，函数的图象必过定点（2，－2）；④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；⑤函数的零点有2个．其中所有正确命题的序号是_________．13．函数的最大值是_______．14．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为________．15．函数的严格减区间是_________.参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：根据对数的运算性质，可得，，，设，，原不等式可化为，由，可得，令小于等于的最小值即可.详解：由题意，，，，设，，则，又，所以原不等式可化为，由，可得，则原不等式可化为，又，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设，，可将原不等式化为，进而结合的范围可得到.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.2．【答案】【解析】分析：根据对数的真数大于零，分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.详解：由题意得，解得：且，故函数的定义域是.故答案为：.3．【答案】【解析】分析：根据对数函数的性质进行解题，在解题过程中注意对a要分时在上为增函数和时在上为减函数两种情况进行讨论.详解：当时，对于任何，都有，所以，而在上为增函数，所以对于任意，都有，因此，要使对任意都成立，只要即可，所以，当时，对于，都有，所以，因为在上为减函数，所以在上为增函数，对于任意，都有，因此，要使对任意都成立，只要即可，所以，即，所以，综上，使对任意都成立的a的取值范围是，故答案为：.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关对数不等式恒成立求参数范围的问题，解题方法如下：（1）首先对底数的范围进行讨论，分和两种情况，将解析中中的绝对值符号去掉；（2）结合函数的单调性，将恒成立问题向最值转化；（3）解对数不等式求得结果.4．【答案】1【解析】分析：根据对数的定义求解.详解：因为，所以故答案为：15．【答案】【解析】分析：由题意可知，内层函数在区间上单调递减，可得出，且使得在处的函数值非负，由此可得出关于的不等式组，解出不等式组即可得出实数的取值范围.详解：设，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.由于函数在上单调递减，则函数在上为减函数，则有，由于在为正数，则当时，，于是有，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】易错点睛：本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在相应的区间上恒为正数.6．【答案】【解析】分析：先求出函数的值域有，再得出，从而求得反函数.详解：由，可得由，则，所以故答案为：7．【答案】【解析】分析：求定义域时，满足真数大于详解：得故答案为：.8．【答案】【解析】分析：由于有最小值3，所以结合题可得，再由有最大值且最大值不小于，可得，从而可求出实数a的取值范围详解：解：因为有最小值3，而有最大值且最大值不小于，所以，所以，所以，因为，所以，所以实数a的取值范围为，故答案为：9．【答案】【解析】分析：由题意可得，再代值求解即可，但注意定义域.详解：新定义运算，，由，解得，所以函数的定义域为.若，则，即，解得：或（舍去）.故答案为：.【点睛】易错点睛：本题考查数学新定义题目，根据定义列出函数解析式，再代值求解，但解题的过程中一定注意函数的定义域，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，属于一般题.10．【答案】【解析】分析：令，解出x，进行换元，即得，即得结果.详解：令，则，，故，.所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.11．【答案】 【解析】分析：根据对数式要求真数大于零，列出不等关系，求得结果；根据复合函数单调性法则，结合定义域，求得单调增区间和单调减区间；根据对应二次函数的值域，以及对数式的要求，求得函数的值域.详解：由，解得，所以函数的定义域为；因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，所以函数的减区间是，增区间为；因为，所以，以为在上是减函数，且，所以函数的值域为；故答案为：①；②；③；④.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数函数与二次函数的复合函数的定义域．单调性．值域问题，在解题的过程中，能够正确解题的关键点是时刻关注函数的定义域，要想研究函数的相关性质，先要保证函数的生存权，注意复合函数单调性法则.12．【答案】①③【解析】分析：由反函数的概念可判断①，代入运算可判断②，由指数函数的性质可判断③，由二分法的概念可判断④，由零点存在性定理可判断⑤.详解：对于①，由反函数的定义可得函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故①正确；对于②，由可得，故②错误；对于③，因为，所以函数的图象必过定点，故③正确；对于④，用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1，故④错误；对于⑤，由，，所以函数在上存在零点，且，，所以2，4也是函数的零点，故⑤错误.故答案为：①③.13．【答案】2【解析】分析：设，则，即求在上的最大值，根据对数函数的单调性可得答案.详解：设，则，即求在上的最大值，由在上是单调递增函数，所以当，即时，函数有最大值2.故答案为：2.14．【答案】【解析】分析：在同一直角坐标系内，作出函数，，，的图象，由对数函数的性质，结合函数图象，即可得出结果.详解：由题意可得，方程，，的根分别为，，，即直线与，，的交点横坐标分别为，，，在同一直角坐标系内作出函数，，，的图象如下，因为对数函数的图象在内，底数越大，图象越高，所以图中，与函数，，交点的横坐标依次是，，，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：求函数零点(方程根)的问题时，常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15．【答案】【解析】分析：先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.详解：由可得，解得，即的定义域为，令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，所以函数的严格减区间是.故答案为：