数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步训练题

这是一份数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步训练题

【精编】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2同步练习一．填空题1．定义域为R的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“伴随函数”有下列关于“伴随函数”的结论，其中正确的是______.①若为“伴随函数”，则；②存在使得为一个“伴随函数”；③“伴随函数”至少有一个零点；④是一个“伴随函数”；2．已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则______3．方程有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.4．对于函数．，设，，若存在．使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是________.5．已知函数，．若关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围________．6．已知函数若有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________.7．若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．8．已知？与？是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为___________.9．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.10．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______.11．定义：若数列满足，则称该数列为函数的“切线零点数列”.已知函数有两个零点．，数列为函数的“切线零点数列”，设数列满足，，数列的前项和为，则___________.12．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是______.13．已知函数，则函数的零点个数为______________.14．方程的根，，则___________.15．已知函数，，若函数只有唯一零点，则实数的取值范围是________.参考答案与试题解析1．【答案】②③【解析】分析：对于①②④，利用“伴随函数”的定义判断即可，对于③，利用“伴随函数”的定义，再结合零点存在性定理判断即可.详解：对于①，若为“伴随函数”，则，令，可得，即，故①错误；对于②，要使为一个“伴随函数”，则对任意实数x都成立，则，此式有解，所以为一个“伴随函数”，故②正确；对于③，若为一个“伴随函数”，则对任意实数x都成立，令，则，若任意一个为0，则函数有零点；若均不为0，则异号，又图像是连续不断，由零点存在性定理知，在区间必有零点，所以“伴随函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，若是一个“伴随函数”,则，即对任意实数x 都成立，令，则，即，此式无解，故不是“伴随函数”，故④错误.故答案为：②③【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，函数的零点，解题的关键是正确理解是 “伴随函数”的定义，及函数零点存在性定理，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.2．【答案】9【解析】分析：依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，根据对数知识可得，根据韦达定理可得，从而可得答案.详解：依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，所以，，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为是的两个实根，所以，所以.故答案为：9【点睛】关键点点睛：根据题意得到是的两个不等实根，是的两个实根是解题关键.3．【答案】【解析】分析：方程有四个互不相等的实数根即与的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数的取值范围．详解：方程有四个互不相等的实数根即与的图象有四个不同的交点作出的函数图象如图所示：当时，；时，，∴，故答案为：4．【答案】【解析】分析：求出函数的零点为，由题意可求得函数零点的取值范围是，由可得出，令，，则实数的取值范围即为函数在的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数在的值域，即为实数的取值范围.详解：由于函数为增函数，函数为减函数，则函数为增函数，因为，.由于与互为“友好函数”，则，可得，解得，所以，函数的零点的取值范围是，由可得，令，，则实数的取值范围即为函数在的值域.当时，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．【答案】【解析】分析：利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用一元二次函数根的分布进行求解．详解：设，，，即函数等价为在上有两个不同零点，，满足，或，即或，．故实数的取值范围，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用一元二次函数根的分布进行求解是解决本题的关键，属于中档题.6．【答案】【解析】分析：根据有三个不同的零点，可得与的图象有三个不同的交点，画出图象，数形结合，即可得答案.详解：因为有三个不同的零点，所以有三个不同的根，即与的图象有三个不同的交点，画出图象，如图所示 当过点（2,1）时，解得，所以当时与的图象有三个不同的交点，即若有三个不同的零点，故答案为：7．【答案】【解析】分析：由题可得有两个解，即或都有解，即可求出.详解：函数有两个零点，有两个解，则或都有解，，解得，故的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数零点求参数范围，解题的关键是得出或都有解.8．【答案】【解析】分析：将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于的方程，也即是函数和的图像的交点问题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点，，，，借助斜率公式．绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集合只能有1个元素.详解：转化为和图像交点，为了简化问题，我们可以研究，，设，，设，，，，①由图像易知，1个交点容易得到，如时，可求得唯一一个交点为而0个交点和2个交点都是不可能的.②假设有0个交点，由题意，，∴，，∴，而由三角不等式，，故矛盾，∴不可能有0个交点；③假设有2个交点，，，∴，，∴ ，明显矛盾，∴不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解集不是无限集时，集合的元素个数只有1个.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.9．【答案】【解析】分析：根据函数在区间上有两个不同的零点，利用根的分布，由求解.详解：因为函数在区间上有两个不同的零点，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．10．【答案】【解析】分析：利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案．详解：设，则，由，解得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．当时，函数取得极大值也是最大值为（）．方程化为．解得或．如图画出函数图象：可得的取值范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．11．【答案】【解析】分析：根据二次函数的零点可求得．的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得.详解：有两个零点．，由韦达定理可得，解得，，.由题意得，，，.又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，.故答案为：.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.12．【答案】【解析】分析：利用换元法，设，转化为方程，有正根，分离参数，求最值.详解：设，转化为方程，有正根，即，，则，当且仅当，即时取等，故答案为：13．【答案】3【解析】分析：根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.详解：解：当时，，令得或（舍掉），当时，，令得或，所以函数的零点个数为3个.故答案为：3.【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.14．【答案】3【解析】分析：令，利用零点存在定理结合函数的单调性可求的值.详解：方程的根等价于的零点，因为均为上的增函数，故为上的增函数，又，，故.故答案为：3.【点睛】方法点睛：方程的根也是的零点，也是交点的横坐标，解题中注意三者之间的相互转化.15．【答案】【解析】分析：存在1个零点可转化为有1根，函数与有1个交点即可.详解：令，得，作出函数与的图象，令，所以，则在单调递减，图象如下：由图象可知，当，即时，图象有1个交点，即存在1个零点.故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.