高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式同步练习题

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【基础】2.2 换底公式-1练习一．填空题1．的值是___________.2．若关于的方程恰有一解，求的取值范围________3．方程的解为_________.4．方程的解__________．5．计算 _________6．已知，则______（用含的代数式表示）.7．已知，则_________．8．已知，若，则______．9．已知则_______.10．已知，，则_________（用表示）11．已知，则_________．12．方程的解集为_________.13．设集合，在上定义关于的函数，则集合用列举法可表示为________________．14．已知，则_____________.15．已知函数,若实数满足，且，则的取值范围是____．
参考答案与试题解析1．【答案】2【解析】根据对数的运算性质且,)可得.【详解】原式=.故答案为:2【点睛】本题考查了对数的运算性质,属于基础题.2．【答案】【解析】逐步化简得到，再根据仅有一解分析得到不等式组，解不等式组即得解.【详解】原方程等价于等价于，等价于等价于因为方程仅有一解，所以，或，或，或.解之得.故答案为：【点睛】本题主要考查对数方程的解的个数，考查对数函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．【答案】【解析】先利用对数的运算法则，将对数方程转化为整式方程，其中可以看作是，再将整式方程转化为二次方程，即可解出方程。【详解】，对于，即，解得：（舍去）或，故答案为：【点睛】本题考查对数方程，要时刻注意真数大于0这个隐藏的限制，是基础题。4．【答案】【解析】由对数真数大于零可构造不等式组求得；利用对数运算法则可将原方程化简为同底对数相等的形式，进而得到真数相等，解方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：，解得：（舍）或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题，通过对数运算法则将方程转化为同底对数相等的式子；易错点是忽略定义域的要求，导致求解结果出现增根.5．【答案】6【解析】利用对数的运算性质及换底公式进行计算即可．【详解】解：原式，故答案为：6.【点睛】本题考查对数的运算及换底公式，其中公式以及的应用是关键，是基础题．6．【答案】.【解析】根据对数的运算法则，运用化简得值.【详解】根据对数的运算法则得：，又因为，所以，故填：.【点睛】本题考查对数的运算法则，一般需将真数或底数化成幂的形式，属于基础题.7．【答案】2【解析】由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.【详解】∵∴，∴故答案为：2【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.8．【答案】【解析】由指数式与对数式的互化公式，得到，即可求得的值，得到答案.【详解】由对数式与指数式的互化，因为，可得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．【答案】【解析】将对数方程化为指数方程，解指数方程即可。【详解】解：且解得：，故答案为：【点睛】本题考查简单的对数方程，是基础题。10．【答案】【解析】先由换底公式，将转化为，再由，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，因此.故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则以及换底公式即可，属于常考题型.11．【答案】【解析】利用对数运算公式，化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】依题意，.故填：.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.12．【答案】【解析】根据对数运算法则，先将方程化为，得到，求解，再由对数的性质，得到的范围，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，整理得：，解得或；又由解得 ；所以，原方程的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查解对数方程，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型.13．【答案】.【解析】 ，所以．由，知，由此能导出集合M【详解】解：所以,又因为，所以 ，解得的解集为，故答案为： 【点睛】本题考查对数的运算性质以及集合的表示法，属于容易题。14．【答案】4【解析】利用对数化简式的逆运算解方程即可【详解】，故原式等价于，即，解得（舍去）或故答案为：4【点睛】本题考查解对数型方程，对数化简基本方法，是基础题15．【答案】【解析】因为，根据题意，得到，根据得到，进而可化为，令，用定义法判断函数单调性，进而可得出结果.【详解】因为，因为两段函数均为单调函数，实数满足，且，所以有；又，所以，于是，则，所以；令 ，任取，则，因为，所以，，因此，所以函数在上单调递增；因此，即.故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的应用，以及由函数单调性求值域问题，熟记函数单调性的定义，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.