高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念随堂练习题

【优质】3.1 对数函数的概念-2练习

一．填空题

1．函数的单调递增区间是__________．

2．函数图象恒过定点，(其中且)，则的坐标为__________.

3．已知（，），若对任何，都有成立，则a的取值范围是___.

4．对于定义域为D的函数，若存在且，使得，则称函数具有性质M，若函数且有性质M，则实数a的最小值为_____.

5．函数是的反函数，则函数的图象恒过定点_______________．

6．已知，那么的取值范围是_______________；

7．若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.

8．已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.

9．若有最大值且最大值不小于，则实数a的取值范围为__________．

10．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为________．

11．函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围为___________.

12．如图所示，已知函数图象上的两点．和函数上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，设点的坐标为，则的值为________．

13．函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．

14．函数的定义域为______________．

15．若，则a的取值范围是___________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.

详解：对于函数，有，解得或.

所以，函数的定义域为，

内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

外层函数为减函数，所以，函数的单调递增区间为.

故答案为：.

【点睛】

复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与.若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．

2．【答案】

【解析】分析：根据对数的性质，，由题中条件，即可求出结果.

详解：因为函数图象恒过定点，(其中且)，

所以只需，则，即，所以，

因此的坐标为.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：根据对数函数的性质进行解题，在解题过程中注意对a要分时在上为增函数和时在上为减函数两种情况进行讨论.

详解：当时，对于任何，都有，

所以，而在上为增函数，

所以对于任意，都有，

因此，要使对任意都成立，只要即可，

所以，

当时，对于，都有，所以，

因为在上为减函数，

所以在上为增函数，

对于任意，都有，

因此，要使对任意都成立，只要即可，

所以，即，所以，

综上，使对任意都成立的a的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关对数不等式恒成立求参数范围的问题，解题方法如下：

（1）首先对底数的范围进行讨论，分和两种情况，将解析中中的绝对值符号去掉；

（2）结合函数的单调性，将恒成立问题向最值转化；

（3）解对数不等式求得结果.

4．【答案】

【解析】分析：设，由，可得，结合可得，进而求得，，由此得解．

详解：解：设，由得，，

则，故，

∴，

又，

∴，

∵，∴，

则，∴，

，故，

，则实数a的最小值为．

故答案为： ．

【点睛】

本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．

5．【答案】

【解析】分析：求出的反函数，再由对数函数的性质可求得的图象所过定点．

详解：因为，所以，

所以的反函数是，

因为是的反函数，

所以，因为恒成立，

所以的图象恒过定点，

故答案为：．

6．【答案】

【解析】分析：将不等式化为后，分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果.

详解：由得，

当时，，得，

当时，，得，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：分类讨论，根据对数函数的单调性求解是解题关键.

7．【答案】

【解析】分析：本题首先可根据过点求出，然后根据两函数互为反函数得出，最后代入即可得出结果.

详解：因为函数图像经过点，

所以，解得，，

因为函数与函数互为反函数，

所以，，

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：可求出分段函数在时的解析式，分两种情况解不等式，求并集.

详解：当时，，，则

当时，，故，，则

，则，则，则此时

综上有

故答案为：

【点睛】

利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：

①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设定在哪个区间.

②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.

③利用已知区间的解析式进行代入，解出

9．【答案】

【解析】分析：由于有最小值3，所以结合题可得，再由有最大值且最大值不小于，可得，从而可求出实数a的取值范围

详解：解：因为有最小值3，

而有最大值且最大值不小于，

所以，

所以，所以，

因为，所以，

所以实数a的取值范围为，

故答案为：

10．【答案】

【解析】分析：在同一直角坐标系内，作出函数，，，的图象，由对数函数的性质，结合函数图象，即可得出结果.

详解：由题意可得，方程，，的根分别为，，，

即直线与，，的交点横坐标分别为，，，

在同一直角坐标系内作出函数，，，的图象如下，

因为对数函数的图象在内，底数越大，图象越高，

所以图中，与函数，，交点的横坐标依次是，，，

即.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：

求函数零点(方程根)的问题时，常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

11．【答案】

【解析】分析：根据复合函数的单调性及函数的定义域建立不等式组求解即可.

详解：因为函数开口向下，对称轴是直线,

所以要使函数在区间 内单调递减，需有且,解得 ．

故答案为：

【点睛】

方法点睛：复合函数单调性，运用口诀“同增异减”即内外两层函数单调性相同，则该函数为单调递增函数，若内外两层单调性相反即一个单调递增另一个单调递减，则该函数为单调递减函数．本题中对数函数是以2为底数，所以问题等价于函数在区间内恒大于零且单调递减，从而求解．

12．【答案】4

【解析】分析：将点坐标代入，化简整理，即可得出结果.

详解：因为点在函数的图象上，

所以，则，所以.

故答案为：

13．【答案】             

【解析】分析：根据对数式要求真数大于零，列出不等关系，求得结果；根据复合函数单调性法则，结合定义域，求得单调增区间和单调减区间；根据对应二次函数的值域，以及对数式的要求，求得函数的值域.

详解：由，解得，所以函数的定义域为；

因为在上单调递增，在上单调递减，

且在上单调递减，

所以函数的减区间是，增区间为；

因为，所以，

以为在上是减函数，且，

所以函数的值域为；

故答案为：①；②；③；④.

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关对数函数与二次函数的复合函数的定义域．单调性．值域问题，在解题的过程中，能够正确解题的关键点是时刻关注函数的定义域，要想研究函数的相关性质，先要保证函数的生存权，注意复合函数单调性法则.

14．【答案】

【解析】分析：根据对数函数，真数大于零，即可求得答案.

详解：由题意得，解得，

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：先通过的大小确定的单调性，再利用单调性解不等式即可．

详解：解：且，

，得，又

在定义域上单调递减，

，

，解得．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：在解决与对数函数相关的解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．