数学必修 第一册3.1 对数函数的概念课后作业题

【优编】3.1 对数函数的概念-2作业练习

一．填空题

1．已知函数且，且的图象恒过定点，则点的坐标为_________.

2．函数的单调递增区间为__________．

3．函数在单调递减，则实数的取值范围是___________.

4．已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.

5．已知函数f（x）＝[loga（x+2）]+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是________.

6．函数的定义域是______.

7．对于定义域为D的函数，若存在且，使得，则称函数具有性质M，若函数且有性质M，则实数a的最小值为_____.

8．已知，那么的取值范围是_______________；

9．已知函数是其反函数，则__________.

10．若函数(且)，满足对任意的？，当时，，则实数a的取值范围为______.

11．已知实数a，b满足，，则_______.

12．如图，的三个顶点A，B，C恰好分别落在函数，，的图象上，且B，C两点关于x轴对称，则点A的横坐标为________．

13．函数是的反函数，则函数的图象恒过定点_______________．

14．已知函数，存在三个互不相等的正实数，，且时有，则取值范围是________.

15．若，则a的取值范围是___________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据对数函数的性质求解．

详解：令，则，，即图象过定点．

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：按照复合函数单调性的判断方法求解.

详解：函数写成内外层函数，，

根据复合函数单调性的判断方法“同增异减”可知，外层是单调递减函数，

内层函数，也是单调递减函数，所以

，解得：，

即函数的单调递增区间是.

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：令，对参数分两种情况讨论，利用复数函数的单调性计算可得；

详解：解：令，对称轴为，开口向上；

当时，在定义域上单调递增，则在单调递减，所以即解得

当时，在定义域上单调递减，则在单调递增，所以即解得，又，所以

综上可得或，即

故答案为：

【点睛】

本题考查复合函数的单调性求参数的取值范围，复合函数的单调性由“同增异减”来确定；

4．【答案】

【解析】分析：可求出分段函数在时的解析式，分两种情况解不等式，求并集.

详解：当时，，，则

当时，，故，，则

，则，则，则此时

综上有

故答案为：

【点睛】

利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：

①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设定在哪个区间.

②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.

③利用已知区间的解析式进行代入，解出

5．【答案】

【解析】分析：先求出m=-1,n=3.再利用二次函数的图像和性质分析得解.

详解：因为函数f（x）＝[loga（x+2）]+3的图象恒过定点，

所以m=-1,n=3，

所以g（x）＝-x2﹣2bx+3，

因为g（x）＝-x2﹣2bx+3在[1，+∞）上单调递减，

所以对称轴，

解得，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查了对数型函数过定点，可求出的值，利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b的范围.

6．【答案】

【解析】分析：根据函数的形式，直接求定义域.

详解：，

函数的定义域需满足，

所以函数的定义域是.

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：设，由，可得，结合可得，进而求得，，由此得解．

详解：解：设，由得，，

则，故，

∴，

又，

∴，

∵，∴，

则，∴，

，故，

，则实数a的最小值为．

故答案为： ．

【点睛】

本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．

8．【答案】

【解析】分析：将不等式化为后，分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果.

详解：由得，

当时，，得，

当时，，得，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：分类讨论，根据对数函数的单调性求解是解题关键.

9．【答案】

【解析】分析：令即可求出

详解：解：令，所以，解得，即.

故答案为: .

10．【答案】

【解析】分析：由题意可知，函数在上单调递减，利用复合函数的单调性分析出外层函数的单调性，再由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：由题意可知，函数在上单调递减，

由于内层函数在区间上单调递减，

所以，外层函数单调递增，则，

且当时，恒成立，即，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键点：

（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；

（2）不要忽略了真数要恒大于零.

11．【答案】6

【解析】分析：先将化为，令，得到，根据函数的单调性，结合题中条件，即可得出结果.

详解：由可得，则，

所以，则；

又，令，则，

因为函数与都是单调递增函数，所以显然是单调递增函数，

所以，因此.

故答案为：.

12．【答案】2

【解析】分析：设出点，根据题意可知轴，从而可得出点，进而可得点，代入对数函数的解析式即可求解.

详解：设出点，

是直角三角形，且B，C两点关于x轴对称，

轴，和纵坐标相同，

，，

，则，

在的图象上，

则，整理可得，，

解得.

故答案为：2

13．【答案】

【解析】分析：求出的反函数，再由对数函数的性质可求得的图象所过定点．

详解：因为，所以，

所以的反函数是，

因为是的反函数，

所以，因为恒成立，

所以的图象恒过定点，

故答案为：．

14．【答案】

【解析】分析：根据函数图象确定间的关系及范围.

详解：函数的图象如图所示，

设，，

则，，，

，，，

，

设，

所以在上单调递增，

所以，

即，

所以的取值范围为，

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：先通过的大小确定的单调性，再利用单调性解不等式即可．

详解：解：且，

，得，又

在定义域上单调递减，

，

，解得．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：在解决与对数函数相关的解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．