数学必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课后复习题

【精选】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2作业练习

一．填空题

1．已知，，若满足，和至少有一个成立，则m的取值范围是______．

2．已知，若与直线有四个不同的交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则的取值范围为_____________.

3．设函数，其中，且．给出下列三个结论：

①函数在区间内不存在零点；

②函数在区间内存在唯一零点；

③设为函数在区间内的零点，则．

其中所有正确结论的序号为_________．

4．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的值为______.

5．若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①，Q都在函数的图象上；②，Q关于原点对称，则称点对是函数的图象上的一个“友好点对”已知函数 （且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数a的取值范围是________

6．设函数且，对于，，在区间内至少有一个零点，则符合条件的实数的一个值是________.

7．已知，，若函数(为实数)有两个不同的零点，，且，则的最小值为___________.

8．已知函数，方程有六个不同的实数根．．．．．，则的取值范围为________．

9．若函数在上有极值点，则的取值范围为___________.

10．函数的零点是________________.

11．设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．

12．已知函数，若关于x的方程有五个不同的实根，则实数a的取值范围为_________．

13．已知函数若函数有4个零点，则实数m的取值范围为_____.

14．若函数在上有零点，则实数的取值范围为______．

15．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立．则可求得的取值范围.

详解：解：，当时，，

又，或，

在时恒成立，

即在时恒成立，

则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，

，即，解得，

实数的取值范围是：．

故答案为：．

【点睛】

利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

2．【答案】

【解析】分析：作分段函数的图象，根据图象可得，，，之间的关系，利用，将转化为关于的函数，求其值域即可.

详解：，图象如图，

，且与直线有四个不同的交点，

所以，

图象关于直线对称

，且，

即，

，

令，由可得，

，

的对称轴为，

在上单调递增，

，

故的取值范围为

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题关键在于作出分段函数的图象，由图象得出，并能够看出，，，之间的关系，是解题的关键所在，最终利用关系转化为关于的函数求解，属于难题.

3．【答案】②③

【解析】分析：利用零点存在定理可判断①②的正误；当时，推导出，再利用函数在区间上的单调性可判断③的正误.

详解：对于①，，，，

由零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，①错误；

对于②，函数在区间上为增函数，

且，，

所以，函数在区间内存在唯一零点，②正确；

对于③，由于函数在区间上为增函数，

当时，，

由于为函数在区间内的零点，则，

所以，，则，③正确.

故答案为：②③.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的零点在区间上判断，解题的关键就是利用零点存在定理进行验证，在判断函数的零点个数时，要注意对函数在区间上的单调性进行分析，若函数在区间上单调性，则该函数在区间上最多一个零点.

4．【答案】1

【解析】分析：在同一坐标系中作出函数与函数的图象，根据只有一个公共点，利用数形结合法求解.

详解：在同一坐标系中作出函数与函数的图象，如图所示：

因为只有一个公共点，

所以，

解得.

故答案为：1

5．【答案】

【解析】分析：若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象如图，然后分和两种情况讨论即可

详解：当时，函数关于原点对称的函数为，即，，

若此函数的“友好点对”有且只有一对，

则等价为函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：

若，则，与，，只有一个交点，满足条件，

当时，，若，

要使两个函数只有一个交点，则满足，即得，

得或，，，综上或，

即实数a的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，解题的关键是转化为对称函数的相交问题，利用函数图像求解，考查分类讨论思想，有一定的难度

6．【答案】内的任何一个数均可

【解析】分析：根据题意，求得，其中，根据二次函数的性质，分．和三种情况讨论，结合零点的存在定理，即可求解.

详解：由题意，函数且，

可得，即，其中，

又由

若，可得，解得；

若，可得，则，则，符合题意；

若，可得，，

所以，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：内的任何一个数均可.

【点睛】

有关函数零点的判定方法及策略：

（1）直接法：令，有几个解，函数就有几个零点；

（2）零点的存在定理法：要求函数在区间上连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；

（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数的零点个数.

7．【答案】

【解析】分析：由题可知有两个不等实根，设，则，根据在上单调递增，结合的图像可知，在上有两个不同的实根，即，构造函数，利用导数研究函数的最小值，即可求解.

详解：，求导，在上单调递增.

函数有两个不同零点，等价于方程有两个不等实根.

设，则，又在上单调递增，作出函数的图像，

则问题转化为在上有两个不同的实根，，

则，则，，.

设，，则，

在上单调递增，且，由零点存在性定理知，在上有唯一零点，故在上单调递减，在上单调递增，

所以.

故答案为：

【点睛】

思路点睛：本题考查利用导数研究函数的零点及最值，利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略，研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值．最值．单调性．变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．

8．【答案】

【解析】分析：作出函数与函数的图象，利用对称性得出，，利用对数运算可得出，且有，可得出，利用双勾函数的单调性可求得结果.

详解：作出函数与函数的图象如下图所示：

设，

由图象可知，当时，直线与函数的图象有六个交点，

点．关于直线对称，可得，

点．关于直线对称，可得，且，

由得，所以，，

，

下面证明函数在区间上为增函数，

任取．且，即，

，

，则，，可得，

所以，函数在区间上为增函数.

，所以，.

因此，的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9．【答案】

【解析】分析：由函数在上有极值点，可得在上有零点，再利用零点存在性定理列不等式求解即可.

详解：因为，所以，

因为函数在上有极值点，

所以在上有零点，

因为在上都递减，

所以在上为减函数，

所以，解得.

故答案为：.

10．【答案】或

【解析】分析：解方程即可得答案.

详解：解：解方程得或.

所以函数的零点是或

故答案为：或.

11．【答案】

【解析】分析：首先由导数的几何意义可知切线的斜率，将切点代入切线方程可得的值，即可得有两个不等实根，转化为与图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.

详解：由可得，

在点处的切线斜率为，所以，

将点代入可得，

所以方程即有两个不等实根，

等价于与图象有两个不同的交点，

作的图象如图所示：

由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12．【答案】

【解析】分析：先作出的图象，然后采用换元法令，分析方程根的分布情况，由此求解出的取值范围.

详解：作出的图象如下图所示：

令，所以，又因为有个不同实根，

所以有两个不同实根，且，记，

所以，所以或，

此时无解，的解集为，

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

（1）确定方程根的个数；

（2）求参数范围；

（3）求不等式解集；

（4）研究函数性质.

13．【答案】

【解析】分析：令，画出的函数图象，可得，得出在有2个解，即可求出.

详解：令，要使有4个零点，则有2个解，

画出的函数图象，

则观察图形可知，，

则有4个零点等价于在有2个解，

则，解得，

所以m的取值范围为.

【点睛】

本题考查函数与方程的应用，解题的关键是利用的函数图象得出在有2个解.

14．【答案】

【解析】分析：令得，构造函数并求值域可得答案.

详解：由，则，

令，

因为在上都递减，

所以在上是单调递减函数，且，

可得.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：本题考查由函数零点求参数问题，解答时要先将函数的零点问题转化为方程有根的问题，进而分离参数，再运用函数思想将问题转化为研究函数图象的性质和最大最小值的问题，考查了分析问题解决问题的能力.

15．【答案】

【解析】分析：设函数，然后分析函数的单调性，然后根据函数的单调性确定出及的解析，得到分段函数的解析式及自变量的范围，画出函数的图象，然后根据的图象分析有两个解时，的取值范围.

详解：设函数 ，则函数在上单调递增，又当时，，

所以当时，；当时，；

所以函数，

画出函数的图象，若恰有两个不同的零点，则有两解，如图所示，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数的零点个数确定参数的取值范围，解答本题的关键在于分析清楚中自变量的取值范围，然后画出函数的图象，利用数形结合确定当有两个零点时，参数的取值范围.