北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步练习题

【优编】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-1练习

一．填空题

1．已知函数，若函数恰有个不同的零点，则的取值范围是______.

2．记，已知+有4个零点，则这4个零点之和为______

3．已知函数，若且，则的最小值是________．

4．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.

5．函数的零点，则a=___________.

6．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．

7．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.

8．函数的零点是________.

9．已知函数，若仅有两个不同零点，则实数a的取值范围是_________．

10．若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是________.

11．已知，，若方程有四个不等实根，则a的取值范围为___________.

12．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为______．

13．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．

14．函数在上的零点之和为______.

15．已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的取值范围__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，构造函数，，可知，函数与的图象有个交点，分和两种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.

详解：由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，

令，，

则函数与的图象有个交点.

当时，函数的零点为，如下图所示：

此时，函数与的图象有个交点，合乎题意；

当时，函数的零点为，

则函数与在轴左侧的图象没有交点，

所以，函数与在轴右侧的图象必有个交点，

则直线与有两个交点，联立，可得，

则方程在上有两个不等的实根，可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.

2．【答案】10

【解析】分析：令．知关于对称，关于对称且，得．交点必在两侧，由函数性质，有4个零点相当于与．各有两个交点，即可求4个零点之和.

详解：令，，可知关于对称，关于对称，且，

∴联立．，在上有交点横坐标为，在上有交点横坐标为，

+有4个零点，即直线与有4个交点，

∴必与．各有两个交点， 所以根据它们的对称性知4个零点之和为.

故答案为：10.

【点睛】

关键点点睛：由有4个零点相当于与有4个交点，由新定义函数性质，结合．的对称性，知与．的交点情况，进而由对称性求零点的和.

3．【答案】

【解析】分析：首先画出函数的图象，由，解出，并将转化为关于的函数，利用导数求函数的最小值.

详解：作出函数的大致图象如图所示，

设，则．

由，可得；由，可得．

令，其中，则．

由，得．

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增．

所以．即的最小值为．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数零点，利用导数求函数的最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是结合函数的图象，得到的取值范围，并得到，.

4．【答案】

【解析】分析：数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.

详解：作出函数图象如图所示：

由，得，

所以，且，

若，即在上有个不相等的实数根，

则 或，

解得.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.

5．【答案】3

【解析】分析：易知是增函数，再由零点存在定理结合求解.

详解：因为均为增函数，

所以是增函数，

又，

所以的零点，

又，

所以，

故答案为：3

6．【答案】1

【解析】分析：令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确保根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围.

详解：设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，

∴，作出的图象，如图

要使有三个不同的零点，，其中

令，则需要有两个不同的实数根（其中）

则，即或，且

若，则，∵，∴，则

∴，则，且

∴=

若，则，因为，且，

∴，故不符合题意，舍去

综上

故答案为：1

【点睛】

数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，进而求得结果。

7．【答案】

【解析】分析：首先将方程等价为方程，画出与的函数图象，联立，根据，再结合图象即可得到答案.

详解：方程.

画出与的函数图象如图所示：

因为直线过，

联立得，由，得.

又过与两点的直线的斜率，

由图知：当直线过点时，为函数与有两个交点的临界点，此时，

由图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，

则实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：方程根的个数判别方法：（1）直接法：直接求出方程的解，（2）图象法：根据函数图象的交点个数得到根的个数.

8．【答案】

【解析】分析：令，解方程即可．

详解：解：令，

则或，且，

得，

即函数的零点是．

故答案为：．

【点睛】

易错点睛：解分式方程或含对数式的方程，要注意分式的分母不为零，对数的真数部分大于零．

9．【答案】

【解析】分析：画出分段函数的图象，利用函数零点的个数，判断a的范围即可.

详解：函数的图象如下：

函数仅有两个不同零点，可转化为函数与函数的图象有2个交点，由图可知.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：本题考查已知零点个数求参数的取值范围，处理函数的零点个数问题时一般转化为函数图象的交点个数，然后借助于函数图象解决，考查数形结合思想和转化思想，属于常考题.

10．【答案】.

【解析】分析：构造新函数，由时，，可得函数不单调，

转化为时，有解，结合指数函数的性质，即可求解.

详解：由存在两个不相等的正实数，，使得成立，

可得成立，

构造新函数，

由时，，可得函数不单调，

又由，可得当时，有解，

即时，有解，

因为当时，，所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：两边同除，换元令，将原方程四个不等式实根转化成一元二次方程根的情况，给出约束条件求出结果.

详解：，两边除以得

，即，

令，则

令，，则，

当，，当时，

由的单调性可知，若原方程有四个不等实根，则只需式在上有两个不等实根，

令，则，.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：在方法一中关键是将其转化为一元二次方程根的情况，并能够找出其约束条件进行求解，这种转化的思想需要掌握；方法二中需要注意取等条件.

12．【答案】

【解析】分析：将换为，可得，则的图象关于直线对称，由题意可得，解得，再由，根据对称性得，代入求得的值．

详解：解：函数，

将换为，可得，

则的图象关于直线对称，则中间的一个零点为

由所有零点之和为，

则可得，解得，

则，

由的图象关于直线对称，

可得有个一零点为，即，

得，解得.

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题关键点为利用函数的对称性，利用对称性及零点的和求出的值，从而得出有一个零点为，代入即可求得所求结果.

13．【答案】

【解析】分析：由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．

详解：解：令，其在定义域上单调递增，

且，，

，

由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．

故答案为：．

14．【答案】

【解析】分析：令，得，再根据，得到范围求解.

详解：，

令得，，

因为，

所以，

则或或或，

解得或或或，

所以.

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.

详解：若，当时，恒成立；

当时，由得；即仅有一个根；

所以由可得，则；即方程仅有一个实根；

故不满足有8个不同的实根；

若时, 画出的大致图象如下，

由可得，，，

又有8个不同的实根，

由图象可得，显然有三个根，显然有两个根，

所以必有三个根，而，，

为使有三个根，只需，解得；

综上可知，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.