数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步测试题

【优选】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2作业练习

一．填空题

1．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.

2．设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数记为，若，则关于x的方程恰有4个不同的解时，实数t的取值范围为________.

3．若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．

4．已知函数，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是_________.

5．定义域为R的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“伴随函数”有下列关于“伴随函数”的结论，其中正确的是______.

①若为“伴随函数”，则；

②存在使得为一个“伴随函数”；

③“伴随函数”至少有一个零点；

④是一个“伴随函数”；

6．已知函数，若存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是__________．

7．已知函数若函数有4个零点，则实数m的取值范围为_____.

8．设函数，其中，且．给出下列三个结论：

①函数在区间内不存在零点；

②函数在区间内存在唯一零点；

③设为函数在区间内的零点，则．

其中所有正确结论的序号为_________．

9．方程的根，，则___________.

10．已知，若与直线有四个不同的交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则的取值范围为_____________.

11．曲线与圆：只有一个公共点，则圆的面积为___________.

12．已知抛物线的对称轴为直线.若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为_________.

13．已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则______

14．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______.

15．对于函数．，设，，若存在．使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据函数在区间上有两个不同的零点，利用根的分布，由求解.

详解：因为函数在区间上有两个不同的零点，

所以，即，

解得，

所以实数a的取值范围是

故答案为：

【点睛】

方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

2．【答案】

【解析】分析：根据题意可得题目等价于和有4个交点，画出的函数图象，数形结合即可求出.

详解：由可得，即，

因为，则.

画出函数图像，根据图像知：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是得出方程等价于和有4个交点，数形结合求解.

3．【答案】

【解析】分析：由题可得有两个解，即或都有解，即可求出.

详解：函数有两个零点，

有两个解，

则或都有解，

，解得，

故的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数零点求参数范围，解题的关键是得出或都有解.

4．【答案】

【解析】分析：根据题意，能判断出不是方程的实数根，从而得到，将方程有两个根转化为与的图象恰有两个不同的交点，画出函数图象，观察图象得到结果

详解：由题意可得，显然不是方程的实数根，

则，

故关于x的方程恰有两个实数根，

等价于与的图象恰有两个不同的交点.

画出的大致图象，如图所示，

由图象可得.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关根据方程根的个数求参数的取值范围的问题，解题方法如下：

（1）观察式子，对其变形；

（2）将方程的根的个数转化为图象交点个数来完成；

（3）画函数图象，得到结果.

5．【答案】②③

【解析】分析：对于①②④，利用“伴随函数”的定义判断即可，对于③，利用“伴随函数”的定义，再结合零点存在性定理判断即可.

详解：对于①，若为“伴随函数”，则，令，可得，即，故①错误；

对于②，要使为一个“伴随函数”，则对任意实数x都成立，则，此式有解，所以为一个“伴随函数”，故②正确；

对于③，若为一个“伴随函数”，则对任意实数x都成立，令，则，若任意一个为0，则函数有零点；若均不为0，则异号，又图像是连续不断，由零点存在性定理知，在区间必有零点，所以“伴随函数”至少有一个零点，故③正确；

对于④，若是一个“伴随函数”,则，即对任意实数x 都成立，令，则，即，此式无解，故不是“伴随函数”，故④错误.

故答案为：②③

【点睛】

关键点睛：本题考查了函数的新定义，函数的零点，解题的关键是正确理解是 “伴随函数”的定义，及函数零点存在性定理，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】分析：根据与交于和点，即可求解结论．

详解：解：因为存在两个不相等的实数，，使得，

故函数不是单调函数，

又因为与交于和点，

故须．

故答案为：．

7．【答案】

【解析】分析：令，画出的函数图象，可得，得出在有2个解，即可求出.

详解：令，要使有4个零点，则有2个解，

画出的函数图象，

则观察图形可知，，

则有4个零点等价于在有2个解，

则，解得，

所以m的取值范围为.

【点睛】

本题考查函数与方程的应用，解题的关键是利用的函数图象得出在有2个解.

8．【答案】②③

【解析】分析：利用零点存在定理可判断①②的正误；当时，推导出，再利用函数在区间上的单调性可判断③的正误.

详解：对于①，，，，

由零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，①错误；

对于②，函数在区间上为增函数，

且，，

所以，函数在区间内存在唯一零点，②正确；

对于③，由于函数在区间上为增函数，

当时，，

由于为函数在区间内的零点，则，

所以，，则，③正确.

故答案为：②③.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的零点在区间上判断，解题的关键就是利用零点存在定理进行验证，在判断函数的零点个数时，要注意对函数在区间上的单调性进行分析，若函数在区间上单调性，则该函数在区间上最多一个零点.

9．【答案】3

【解析】分析：令，利用零点存在定理结合函数的单调性可求的值.

详解：方程的根等价于的零点，

因为均为上的增函数，故为上的增函数，

又，，故.

故答案为：3.

【点睛】

方法点睛：方程的根也是的零点，也是交点的横坐标，解题中注意三者之间的相互转化.

10．【答案】

【解析】分析：作分段函数的图象，根据图象可得，，，之间的关系，利用，将转化为关于的函数，求其值域即可.

详解：，图象如图，

，且与直线有四个不同的交点，

所以，

图象关于直线对称

，且，

即，

，

令，由可得，

，

的对称轴为，

在上单调递增，

，

故的取值范围为

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题关键在于作出分段函数的图象，由图象得出，并能够看出，，，之间的关系，是解题的关键所在，最终利用关系转化为关于的函数求解，属于难题.

11．【答案】

【解析】分析：联立曲线与圆方程，消去，利用换元法以及根与系数的关系解出，可得圆的面积．

详解：联立曲线与圆：，

可得，即

令，则

，且，解得

则圆的面积为

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：先由对称轴求出，再求出在的值域即可.

详解：的对称轴为直线，，即，

则方程化为，

对于

当时，，当时，，

，，

则要使方程有实数根，满足.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题考查方程有解问题，解题的关键是将方程有解转化为求在的值域.

13．【答案】9

【解析】分析：依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，根据对数知识可得，根据韦达定理可得，从而可得答案.

详解：依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，

所以，，则，

因为，所以，所以，

所以，所以，所以，所以，

因为是的两个实根，所以，

所以.

故答案为：9

【点睛】

关键点点睛：根据题意得到是的两个不等实根，是的两个实根是解题关键.

14．【答案】

【解析】分析：利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案．

详解：设，则，

由，解得，

当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．

当时，函数取得极大值也是最大值为（）．

方程化为．

解得或．

如图画出函数图象：可得的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

15．【答案】

【解析】分析：求出函数的零点为，由题意可求得函数零点的取值范围是，由可得出，令，，则实数的取值范围即为函数在的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数在的值域，即为实数的取值范围.

详解：由于函数为增函数，函数为减函数，则函数为增函数，

因为，.

由于与互为“友好函数”，

则，可得，解得，

所以，函数的零点的取值范围是，

由可得，

令，，则实数的取值范围即为函数在的值域.

当时，.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.