北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步测试题

【优编】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-1作业练习

一．填空题

1．已知函数，若的图象上有且仅有2个不同的点关于直线的对称点在直线，则实数的取值是________．

2．已知，其中是方程的两根，则的大小关系是______________．

3．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第三次取区间的中点为________.

4．已知函数，若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.

5．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________．

6．已知函数，若有2个零点，则______．

7．已知函数，若存在三个互不相同的实数，，，满足，则的取值范围是__________．

8．已知其中，若方程在上有4个不同的根，则的取值范围为__________.

9．若方程有一个零点，则实数b的取值范围是________.

10．若不等式的解集中有且仅有两个正整数，则实数的范围是____________

11．已知函数，．若方程恰有个互异的实数根，则实数_____．

12．已知函数，满足，若函数的图象与函数的图象恰好有个交点，则这个交点的横坐标之和为_______.

13．方程的实数根的个数为___________.

14．已知函数，若且，则的最小值是________．

15．已知，，若有两零点．，且，则的取值范围是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】分析：由题知，先求出直线关于直线对称的直线的方程为，进而将问题转化为图象与函数的图象有2个交点，进一步讨论将问题转化为，故令，进而转化为直线与函数有2个交点，再结合的性质求解即可.

详解：直线关于直线对称的直线的方程为，对应的函数为，其图象与函数的图象有2个交点．

对于一次函数，当时，，由知不符合题意．

当时，令，可得，此时，令．

当时，为增函数，，当时，为先增再减函数，．

结合图象，

直线与函数有2个交点，

因此，实数，即．

故答案为：2

【点睛】

本题考查直线的对称性问题，函数图象的交点个数求参数问题，考查运算求解能力，数形结合思想，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转换为图象与函数的图象有2个交点问题，进而进一步转化为直线与函数有2个交点求解.

2．【答案】

【解析】分析：将的根转化为与的交点问题，而a．b为与x轴的交点横坐标，根据题意应用数形结合的方法，即可判断参数的大小关系.

详解：由题意，的两根可转化为与的两个交点，如下图示：

有与x轴的交点横坐标分别为a．b，而与的两交点横坐标为，且．，

∴.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：方程的实数根就是对于函数的零点，根据题意可设，求得，根据零点存在性定理可得出的零点所在区间为，由二分法得第二次取区间的中点为，进而求得，得零点所在区间为，从而得出第三次取区间的中点.

详解：解：由题可知，用二分法求方程在初始区间内的近似解，

第一次取区间的中点为，可设，

，，

，

，的零点所在区间为，

则第二次取区间的中点为，

而，

，的零点所在区间为，

则第三次取区间的中点为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查零点存在性定理的应用和利用二分法求方程的近似解，解题的关键在于掌握二分法的解题步骤，考查学生数学运算能力.

4．【答案】

【解析】分析：先去绝对值得到一个分段函数，转化为方程有三个不相等的实数根，（1）当时，，且，可知在上是增函数，不满足题意；（2）当时，，可知在区间，上分别是增函数，而在区间上是减函数画出图像得到，即，令，判断的单调性即可求解.

详解：由题意得，

且关于的方程有三个不相等的实数根，

（1）当时，

，且，

可知在上是增函数，

此时关于的方程不可能有三个不相等的实数解；

（2）当时，

，

可知在区间，上分别是增函数，

而在区间上是减函数(如图所示)，

当且仅当时，

方程有三个不相等的实数解.

即，

令，

则在时是增函数，

则得，

所以，所求实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为直线，另一个函数的图像为常见函数的图像.

5．【答案】

【解析】分析：作出函数的图像，由恰有三个不同的解，得的范围，得到的对称性，再判断的范围，利用数形结合求解.

详解：作出函数的图像如图所示，根据图像可知恰有三个不同的解时，设，令，可得，根据对称性可知关于对称，所以，又因为，所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题利用数形结合的方法求解函数零点问题，解答本题的关键在于作出函数的图像，利用三角函数的对称性得到，再结合图像判断的范围.

6．【答案】

【解析】分析：令，则，令，作出和的图象，数形结合可知两图在上有1个交点，故在时，满足，化简后令即可

详解：

令，则，问题转化为函数与的图象有两个交点，易知函数与的图象在上有1个交点，由，得，由，解得（舍去）．

故答案为：．

7．【答案】

【解析】分析：利用图像法作出a．b．c对应位置，计算出ab=1，即可求出的取值范围.

详解：如图示：

记，在坐标系内作出和的图像，三个交点的横坐标从左到右依次记为a．b．c，则有，且，

所以，所以，即，所以.

所以

故答案为：

【点睛】

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

8．【答案】

【解析】分析：由时函数的周期为2，作出函数的图象，利用数形结合法求解.

详解：由函数的解析式可知，当时函数的周期为2，

作出函数的图象得，

因为方程在上有4个不同的根，

由图象知

解得.

故答案为：

9．【答案】0或

【解析】分析：方程有一个零点等价于函数图像有一个交点，作出函数图像，结合图像可得其范围.

详解：解：方程有一个零点等价于函数图像有一个交点，

作出函数图像如下：

结合图像可得函数图像有一个交点实数b的取值范围是0或

故答案为：0或

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

10．【答案】

【解析】分析：设.如图，作出两个函数的大致图象，原问题转化为求解不等式组，解之可得答案.

详解：解：设.如图，画出两个函数的大致图象，两个函数的图象均过原点，由图知当时不合题意，则，

要使不等式的解集中有且仅有两个正整数，则需，解得 .

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

11．【答案】或

【解析】分析：作出函数与函数的图象，数形结合可得出关于实数的等式，由此可解得函数的值.

详解：在同一直角坐标系内作出函数与函数的图象，

由图可知，函数与函数相切，

则或，整理可得，

，解得或.

故答案为：或.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12．【答案】

【解析】分析：由已知函数可知，图象关于点对称，构造新函数得有个零点，结合对称性可求出横坐标之和.

详解：因为是反比例函数往右平移个单位，关于对称，

所以函数的图象关于点对称.因为函数满足，

所以的图象也关于点对称，函数图象关于点对称，

且有个零点，这个零点关于点对称，

把这个零点首尾结合，两两关于点对称，和为，

故这个交点的横坐标之和为.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：

本题的关键是构造新函数，将已知两函数交点问题转化为函数零点个数问题.

13．【答案】

【解析】分析：转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象可得答案.

详解：显然不是方程的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，

故答案为：.

【递减】

本题的关键点是转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，考查了学生转化与数形结合的能力.

14．【答案】

【解析】分析：首先画出函数的图象，由，解出，并将转化为关于的函数，利用导数求函数的最小值.

详解：作出函数的大致图象如图所示，

设，则．

由，可得；由，可得．

令，其中，则．

由，得．

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增．

所以．即的最小值为．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数零点，利用导数求函数的最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是结合函数的图象，得到的取值范围，并得到，.

15．【答案】

【解析】分析：由可得出，令，可知函数与函数图象的两个交点的横坐标．满足，对实数的取值进行分类讨论数形结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，即为所求.

详解：由可得，等式两边同除以，可得.

令，可得，即，设，

①当时，作出函数与函数的图象如下图所示，

若使得两个函数的图象有两个交点，则，解得，且，

由，解得，由，解得，

，不合乎题意；

②当时，作出函数与函数的图象如下图所示，

，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意；

③当时，则，

两个函数图象没有交点，不合乎题意；

④当时，作出函数与函数的图象如下图所示，

此时，两个函数的图象有两个交点，且，

（i）若，即时，

由，解得，由，解得，

，合乎题意；

（ii）若时，则，则，不合乎题意；

（iii）当，即时，

由，可得，由，可得，

此时，不合乎题意.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.