备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题02 整式和分式

重点分析

整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题。重点考查分式有意义、分式的值为零的条件，分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧．命题多以选择题、填空题、计算题或化简求值的形式出现．

难点解读

难点一、整式的有关概念

1．整式

整式是单项式与多项式的统称．

2．单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．

3．多项式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

难点二、整数指数幂的运算

正整数指数幂的运算法则：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，＝am－n(m，n是正整数)．

难点三、同类项与合并同类项

1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．

2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

难点四、求代数式的值

1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．

2．求代数式的值的基本步骤：

(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；

(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．

难点五、整式的运算

1．整式的加减

(1)整式的加减实质就是合并同类项；

(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．

2．整式的乘除

(1)整式的乘法

①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．

③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．

(2)整式的除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.

3．乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

难点六、因式分解

1．因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．

2．因式分解的方法

(1)提公因式法

公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．

(2)运用公式法

①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

难点七、分式

1．分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．

2．分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式中，若B≠0，则分式有意义；若B＝0，那么分式没有意义．

3．分式值为零的条件：在分式中，当A＝0且B≠0时，分式的值为0.

难点八、分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：

＝，＝(其中M是不等于0的整式)．

分式的约分与通分

1．约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．

2．通分：将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．

难点九、分式的运算

1．分式的加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即±＝.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即±＝.

2．分式的乘除法

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即·＝.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷＝·＝.

3．分式的混合运算

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．

真题演练

1．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？

2．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？

3．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？

4．（2021·江苏宿迁市）方程的解是_____________．

5．（2021·江苏连云港市）解方程：．

6．（2021·江苏南通市）解方程．

7．（2021·江苏泰州市）解方程：+1＝．

8．（2021·江苏南京市）解方程．

9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

10．因式分解：x3﹣4x=_____．

11．已知，那么的值为_______________．

12．下列运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

13．下列运算中，结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

14．下列算式中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

15．（2020·陕西九年级其他模拟）计算：（2x﹣y）2＝（　　）

A．4x2﹣4xy+y2 B．4x2﹣2xy+y2 C．4x2﹣y2 D．4x2+y2

16．（2020·江苏九年级一模）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

17．（2020·江苏·九年级三模）下列计算结果等于的是（    ）

A． B． C． D．

18．（2020·江苏·九年级一模）下列运算中，正确的是（　　）

A．x2+2x2＝3x4 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x6 D．（xy）3＝xy3

19．下列各式计算正确的是（　　）

A．a0＝1 B．2﹣2＝﹣ C．a2•a3＝a5 D．x2+x2＝x4

20．（2020·江苏九年级一模）下列计算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

21．（2020·江苏九年级其他模拟）已知二次函数（是常数）图象上有两点，若，则满足的关系式是（    ）

A． B． C． D．