备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题08 函数概念与平面直角坐标系

重点分析

中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．

难点解读

难点一、平面直角坐标系与点的坐标特征

1．平面直角坐标系

如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴(或横轴)，竖直的数轴叫y轴(或纵轴)，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．

2．各象限内点的坐标特征

点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；

点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；

点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；

点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.

3．坐标轴上的点的坐标的特征

点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；

点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；

点P(x，y)在坐标原点x＝0，y＝0.

难点二、特殊点的坐标特征

1．对称点的坐标特征

点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．

2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征

平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同；

平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同．

3．各象限角平分线上点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．

难点三、距离与点的坐标的关系

1．点与原点、点与坐标轴的距离

(1)点P(a，b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即|b|；点P(a，b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即|a|.

(2)点P(a，b)到原点的距离等于点P的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即.

2．坐标轴上两点间的距离

(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.

(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.

(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝

难点四、函数有关的概念及图象

1．函数的概念

一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

2．常量和变量

在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．

3．函数的表示方法

函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．

4．函数图象的画法

(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．

难点五、函数自变量取值范围的确定

确定自变量取值范围的方法：

1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．

2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．

3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．

4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．

真题演练

1．（江苏省常州市2021年数学中考真题）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可．

【详解】

解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3，

当6＜t≤25时，=15，

当25＜t≤30时，=-2t+65，

∴当1≤t≤6时，=，

当6＜t≤25时，=，

当25＜t≤30时，=

= ，

∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A．

故选A．

【点睛】

本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．

2．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）函数y=的自变量x的取值范围是（       ）

A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.

【详解】

解：∵函数y=有意义,

∴x-20,

即x＞2

故选D

【点睛】

本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.

3．（江苏省扬州市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．

【详解】

∵x2＋2＞0，

∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．

4．（江苏省扬州市2020年中考数学试题）小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值．

【详解】

∵图像过二、四象限

∴a＜0，

∵x=-b时，函数值不存在，结合图象可知：

b＞0

故选C．

【点睛】

此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系．

5．（江苏省无锡市2020年中考数学试题）函数中自变量的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由二次根式的被开方数大于等于0问题可解

【详解】

解：由已知，3x﹣1≥0可知，故选B．

【点睛】

本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围．

6．（江苏省常州市2019年中考数学试题）随着时代的进步，人们对（空气中直径小于等于微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中的值（）随时间（）的变化如图所示，设表示时到时的值的极差（即时到时的最大值与最小值的差），则与的函数关系大致是（　　）

A． B．C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据极差的定义，分别从、、及时，极差随的变化而变化的情况，从而得出答案．

【详解】

当时，极差，

当时，极差随的增大而增大，最大值为；

当时，极差随的增大保持不变；

当时，极差随的增大而增大，最大值为；

故选B．

【点睛】

本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．

7．（江苏省无锡市2019年中考数学试题）函数中的自变量的取值范围是（       ）

A．≠ B．≥1 C．> D．≥

【答案】D

【解析】

【分析】

由被开方数为非负数可行关于x的不等式，解不等式即可求得答案.

【详解】

由题意得，2x-1≥0，

解得：x≥，

故选D．

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

二、填空题

8．（江苏省常州市2021年数学中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________．

【答案】（3，0）

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解．

【详解】

解：∵四边形是平行四边形，

∴OA=BC=3，

∴点A的坐标是（3，0），

故答案是：（3，0）．

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键．

9．（江苏省南京市2021年中考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．

【详解】

设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；

点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点

得

得

点B的横坐标是6．

故答案为6．

【点睛】

本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键．

10．（江苏省扬州市2021年中考数学试题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．

【详解】

解：由题意得：，

解得：，

∴整数m的值为2，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．

11．（江苏省泰州市2021年中考数学真题试卷）函数：中，自变量x的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【详解】

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即.

12．（江苏省泰州市2020年中考数学试题）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．

【答案】（2，3）

【解析】

【分析】

根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．

【详解】

解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，

根据题意可得：AB=，AC=，BC=，

∵，

∴∠BAC=90°，

设BC的关系式为：y=kx+b，

代入B，C，

可得，

解得：，

∴BC：，

当y=0时，x=3，即G（3,0），

∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，

设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，

∵∠BAC=90°，

∴四边形MEAF为正方形，

S△ABC=，

解得：，

即AE=EM=，

∴BE=，

∴BM=，

∵B（-3，3），

∴M（2，3），

故答案为：（2，3）．

【点睛】

本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．

13．（江苏省连云港市2020年中考数学试题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．

【详解】

解：设正方形的边长为，

则由题设条件可知：

解得：

点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：

故点A的坐标为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．

14．（江苏省连云港市2019年中考数学试题）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．

【详解】

解：根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，所以点C的坐标可表示为（2，4，2），

故答案为（2，4，2）．

【点睛】

本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．