备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题09 一次函数

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重点分析
一次函数是中考的重点，主要考查图象的性质及解析式的确定；
中考题型有选择题、填空题、解答题以及与方程、不等式相结合的综合应用题
难点解读
难点一、一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
难点二、一次函数的图象与性质
1．一次函数的图象
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
2．一次函数图象的性质
一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
难点三、一次函数解析式的确定
常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是：
1．设出函数解析式；
2．根据已知条件求出未知的系数；
3．具体写出这个解析式．
难点四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系
1．y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．
3．一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
真题演练
1．（2021·江苏连云港市）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
2．（2021·江苏无锡市）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据反比例函数图像和性质，直接写出答案即可．
【详解】
解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，
∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，
∴函数表达式可以是：（答案不唯一）．
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数图像是中心对称图形，是解题的关键．
3．（2021·江苏南通市）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．
【详解】
解：在Rt△ADE中AD=(cm)，
在Rt△CFB中，BC=(cm)，
AB=AE+EF+FB=15(cm)，
①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0，
如图，过点P作PG⊥AB于点G，

，则PG=(0)，
此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；
②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，

此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段；
③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，

此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；
④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，
如图，过点P作PH⊥AB于点H，

，则PH=，
此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段；
综上，只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，
4．（2021·江苏常州市）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）

A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可．
【详解】
解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3，
当6＜t≤25时，=15，
当25＜t≤30时，=-2t+65，
∴当1≤t≤6时，=，
当6＜t≤25时，=，
当25＜t≤30时，=
= ，
∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A．
故选A．
【点睛】
本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．
5．（2021·江苏苏州市）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】
解：根据题意，
∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，
∴，
∴，
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
∴两者的面积和
∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；
故选：D．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
6．（2021·江苏宿迁市）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．

【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h．
【分析】
（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答；
（2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可．
【详解】
解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km
在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶
则慢车速度为=60km/h
设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h
∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348）
∴慢车行驶时间为h，
∴C点的横坐标为8
∴C点的坐标为（8,480）；
（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；
在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km
共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h
∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h．
答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h．
【点睛】
本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键．

7．（2021·江苏泰州市）函数：中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即.
8．（2021·江苏宿迁市）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用分比例函数的增减性解答即可．
【详解】
解：∵
∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；
∵0＜1＜3，-2＜0
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
9．（2021·江苏徐州市）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．

【答案】（2，3）
【分析】
根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解．
【详解】
解：∵四边形为正方形，
∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），
∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
10．（2021·江苏无锡市）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．
【详解】
∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴B(-n，0)，
∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴或，解得：n=-2或n=1或无解，
∴m=2或-1（舍去），
故选B．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
11．（2021·江苏宿迁市）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 =__________．

【答案】8
【分析】
由的面积为12，故作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．
【详解】
解：作，设，

的面积为12

B点是AC中点
B点坐标
B点在反比例图像上

又



故答案是：8．

【点睛】
本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型．解题的关键是设而不解的方程思想．此外设有两点，则的中点坐标是：．
12．（2021·江苏南京市）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．

【答案】12
【分析】
先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：设A（t，）,
∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，
∴B（-t，-）,
∵轴，轴，
∴C（t，-）,
∴；
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等．
13．（2021·江苏泰州市）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．

（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 　 　（只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【分析】
（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】
（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
14．（2021·江苏南通市）平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC-OD的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
根据直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得A2k2,2k，B-2k2,-2k，再根据Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点求得Mk2,2；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为y=22k-42k-kx+2-k2k2k-k，进而求得OC=22k-k2k2k-k，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为y=22k+42k+kx+2-k2k2k+k，进而求得OD=k2k-22k2k+k，最后计算OC-OD即可．
【详解】
解：∵直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，
∴联立可得：y=2x,y=kx,
解得：x1=2k2,y1=2k．或x2=-2k2,y2=-2k．
∵点A在第一象限，
∴A2k2,2k，B-2k2,-2k．
∵Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点，
∴2=km．
解得：m=k2．
∴Mk2,2．
设直线AM的解析式为y=k1x+b1，
将点A2k2,2k与点Mk2,2代入解析式可得：2k=k1·2k2+b1,2=k1·k2+b1,
解得：k1=22k-42k-k,b1=22k-k2k2k-k．
∴直线AM的解析式为y=22k-42k-kx+22k-k2k2k-k．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴xC=0．
∴yC=22k-42k-k·0+22k-k2k2k-k=22k-k2k2k-k．
∴C0,22k-k2k2k-k．
∵k>2，
∴OC=22k-k2k2k-k=22k-k2k2k-k．
设直线BM的解析式为y=k2x+b2，
将点B-2k2,-2k与点Mk2,2代入解析式可得：-2k=k2·-2k2+b2,2=k2·k2+b2,
解得：k2=22k+42k+k,b2=22k-k2k2k+k．
∴直线BM的解析式为y=22k+42k+kx+22k-k2k2k+k．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴xD=0．
∴yD=22k+42k+k·0+22k-k2k2k+k=22k-k2k2k+k．
∴D0,22k-k2k2k+k．
∵k>2，
∴OD=22k-k2k2k+k=k2k-22k2k+k．
∴OC-OD=22k-k2k2k-k-k2k-22k2k+k
=22k-k2k2k+k2k-k2k+k-k2k-22k2k-k2k+k2k-k
=4k-2k2+2k2k-k22k2k-k2-2k2-4k-k22k+2k2k2k-k2
=8k-4k22k-k2
=42k-k22k-k2
=4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
15．（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【分析】
设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．
【详解】
解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，
设P（m，），
则C（m，），A（m，0），B（0，），令，
则，即D（，），
∴PC==，PD==，
∵，，即，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积===，故③正确；

=
=
=
=
=，故②错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．

16．（2021·江苏苏州市）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】
解：在一次函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2<，
∴．
∴m 故选：C
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．
17．（2021·江苏常州市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．

（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）b=2，k=6；（2）6
【分析】
（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，把代入得：b=2，由，得，进而即可求解；
（2）根据三角形的面积公式，直接求解即可．
【详解】
解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，

把代入得：，解得：b=2，
∴，
令x=0代入，得y=2，即B(0，2)，
∴OB=2，
∵，OB∥CD，
∴，
∴，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D(2，3)，
∴，解得：k=6；
（2）的面积=．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数图像点的特征，是解题关键．
18．（2021·江苏苏州市）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．


【答案】
【分析】
先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．
【详解】
解：把代入，得．
∴．
∵轴，
∴点横坐标为．
把代入，得．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．（2021·江苏扬州市）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．

【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
20．（2021·江苏南京市）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．

（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；
（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．
【答案】（1）图像见解析；（2）12
【分析】
（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；
（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）作图如图所示：
；
（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，
∴，
解得：，
∴甲整个行程所用的时间为12．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等．
21．（2021·江苏常州市）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．

（应用）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【分析】
（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．

【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
22．（2021·江苏南通市）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：（元）；
去B超市的购物金额为：（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；
（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【分析】
（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;
（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．
【详解】
解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；
B商场y关于x的函数解析式：，即：；
（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元
∴当时，，
令，，
所以，当时，即，去B超市更省钱；
当时，，
令，，
所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；
当时，即，去B超市更省钱；
当时，即，去A超市更省钱；
综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
23．（2021·江苏常州市）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】
由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
24．（2021·江苏苏州市）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求的值；
②求图③中线段所在直线的解析式．

【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②．
【分析】
（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积．
（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．
①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可．
②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式．
【详解】
（1）由图知，正方形的边长，
∴容器甲的容积为立方米．
如图，连接，
∵，
∴为直径．
在中，，，
根据勾股定理，得，，
∴容器乙的容积为立方米．

（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．
①当时，．
∵平行于横轴，
∴，．
由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米，
∴．
解得．
②设注水b小时后，，则有．
解得，即．
设线段所在直线的解析式为，
∵、在直线上，
∴，
解得：．
∴线段所在直线的解析式为．
【点睛】
本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键．