备战2023数学新中考二轮复习重难突破（浙江专用）专题05 一次方程（组）

目标点拨

1.了解方程、一元一次方程相关概念，掌握等式的基本性质，并能应用等式的性质进行等式变形；

2.掌握解一元一次方程的一般步骤并能解一元一次方程，理解的解的意义；

3.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，解决生活中的实际问题.

4.了解二元一次方程及方程组得概念；

5.掌握代入消元法和加减消元法，会解二元一次方程组；

6.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决生活中的实际问题.

知识总结

一、方程和方程的解的概念

1．等式的性质

（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．

2．方程

含有未知数的等式叫做方程．

3．方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．

二、一元一次方程及其解法

1．一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．

注意：前面的系数不为．

2．一元一次方程的解

使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

3．一元一次方程的求解步骤

注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．

三、二元一次方程（组）及解的概念

1．二元一次方程

含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

3．二元一次方程组

由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．

4．解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．

5．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

四、一次方程（组）的应用

1．列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题；

（2）设出未知数；

（3）列出含未知数的等式——方程；

（4）解方程（组）；

（5）检验结果；

（6）作答(不要忽略未知数的单位名称）．

2．一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：利润售价－成本价；利润率＝×100％；售价＝标价×折扣；销售额＝售价×数量．

（2）储蓄利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)；贷款利息＝贷款额×利率×期数．

（3）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．

（4）行程问题：路程＝速度×时间．

（5）相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程．

（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程＝追者走的路程．

（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程．

（8）水中航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．

经典例题

1．（2020•湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根 

B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 

D．实数根的个数与实数b的取值有关

【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．

【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

2．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）

A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 

C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2

【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．

【解答】解：设“□”内数字为x，根据题意可得：

3×（20+x）+5＝10x+2．

故选：D．

3．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．

【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：

．

故选：A．

4．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）

A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3

【分析】方程组利用加减消元法变形即可．

【解答】解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；

B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；

C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；

D、①﹣②×3无法消元，符合题意．

故选：D．

5．（2020•衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 

C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．

【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，

故选：B．

6．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）

A．120km B．140km C．160km D．180km

【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．

【解答】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：

设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：

，

解得：．

∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．

故选：B．

7．（2020•绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　100或85　元．

【分析】可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．

【解答】解：设所购商品的标价是x元，则

①所购商品的标价小于90元，

x﹣20+x＝150，

解得x＝85；

②所购商品的标价大于90元，

x﹣20+x﹣30＝150，

解得x＝100．

故所购商品的标价是100或85元．

故答案为：100或85．

8．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　　．

【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．

【解答】解：根据题意得，，

故答案为：．

9．（2020•杭州）若分式的值等于1，则x＝　0　．

【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．

【解答】解：由分式的值等于1，得

1，

解得x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

故答案为：0．

10．（2020•绍兴）若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是　答案不唯一，如x﹣y　（写出一个即可）．

【分析】根据方程组的解的定义，为应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为列一组算式，然后用x，y代换即可．

【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，

而1﹣1＝0，

∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．

故答案为：答案不唯一，如x﹣y．

11．（2020•杭州）以下是圆圆解方程1的解答过程．

解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．

【解答】解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．

去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

12．（2020•嘉兴）比较x2+1与2x的大小．

（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：

①当x＝1时，x2+1　＝　2x；

②当x＝0时，x2+1　＞　2x；

③当x＝﹣2时，x2+1　＞　2x．

（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．

【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；

（2）根据完全平方公式，可得答案．

【解答】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；

②当x＝0时，x2+1＞2x；

③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．

（2）x2+1≥2x．

证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，

∴x2+1≥2x．

故答案为：＝；＞；＞．

13．（2020•台州）解方程组：

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①+②得：4x＝8，

解得：x＝2，

把x＝2代入①得：y＝1，

则该方程组的解为

14．（2020•绍兴）（1）计算：4sin60°+（π﹣2）0﹣（）﹣2．

（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？

【分析】（1）根据实数运算法则解答；

（2）利用题意得到x2+1＝4x+1，利用因式分解法解方程即可．

【解答】解：（1）原式＝41﹣4﹣23；

（2）x2+1＝4x+1，

x2﹣4x＝0，

x（x﹣4）＝0，

x1＝0，x2＝4．

15．（2019•金华）解方程组

【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；

【解答】解：，

将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，

②+③，得y＝1，

将y＝1代入②，得x＝3，

∴；

令解：将②代入①，可得3x﹣4＝5，

∴x＝3，

将x＝3代入②，可得y＝1，

∴原方程组的解为；

16．（2020•温州）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．

（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？

（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．

①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？

②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；

（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；

②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．

【解答】解：（1）设成人有x人，少年y人，

，

解得，，

答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；

（2）①由题意可得，

由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），

答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；

②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，

当10≤a≤17时，

若a＝10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，

∴b的最大值是2，此时a+b＝12，费用为1160元；

若a＝11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b，

∴b的最大值是1，此时a+b＝12，费用为1180元；

若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；

当1≤a＜10时，

若a＝9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，

∴b的最大值是3，a+b＝12，费用为1200元；

若a＝8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，

∴b的最大值是3，a+b＝11＜12，不合题意，舍去；

同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；

综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．

17．（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．

方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．

【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得关于x和y的方程组，求解即可．

（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等量关系，列出关于m的分式方程，求解并检验即可；②用生产任务数量27000除以方案一中甲和乙完成的生产任务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可．

【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：

，

解得．

∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．

（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：

，

解得m＝5．

经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．

∴乙车间需临时招聘5名工人．

②企业完成生产任务所需的时间为：

18（天）．

∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．

选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．

∵17700＜18000，

∴选择方案一能更节省开支．