冀教版九年级下册30.2 二次函数的图像和性质获奖ppt课件

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(1)一次函数的图象是什么？ 一条直线 (2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
二次函数y =ax 2的图像
　　在同一直角坐标系中，画出函数 y = x 2 和 y =－x 2 的图象，这两个函数的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？
注意：列表时自变量取值要均匀和对称
用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结
在同一直角坐标系中画出函数y = x 2和y =2x 2的图像
函数 y = x 2， y =2x 2的图像与函数 y=x 2(图中虚线图形)的图像相比，有什么共同点和不同点?
当a＜0时，它的图像又如何呢？
一般地，抛物线 y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.
例1 在同一坐标系中画出 y1＝2x 2，y2＝－2x 2和 y3＝ x 2的 图像，正确的是图中的(　　)
当x＝1时, y1, y2, y3的图像上的对应点分别是(1，2)，(1，－2)， (1， )， 可知，其中有两点在第一象限， 一点在第四象限，排除B，C；在第一象限内，y1的对应点(1，2)在上， y3的对应点(1， )在下，排除A.
1 关于二次函数y＝3x 2的图像，下列说法错误的是(　　) A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y 轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－3x 2的图像关于x 轴对称
若二次函数 y＝ax 2的图像过点P (－2，4)，则该图像 必经过点(　　) A．(2，4)　 B．(－2，－4)　 C．(－4，2)　 D．(4，－2)
3 关于二次函数 y＝2x 2与 y＝－2x 2，下列叙述正确的有(　　) ①它们的图像都是抛物线； ②它们的图像的对称轴都是 y 轴； ③它们的图像都经过点(0，0)； ④二次函数 y＝2x 2的图像开口向上，二次函数 y＝－2x 2的图像 开口向下； ⑤它们的图像关于x 轴对称． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
函数 y＝ax－2与y＝ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
二次函数y＝ax 2的性质
观察二次函数y =x 2与 y =－x 2的图象，你能发现什么问题？
在x 轴的上方（除顶点外）
在x 轴的下方（除顶点外）
当x =0时，最小值为0.
当x =0时，最大值为0.
当a >0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小。
当a>0时，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。
例2 已知函数 y＝－ x 2，不画图象，回答下列各题． (1)开口方向：______； (2)对称轴：_____； (3)顶点坐标：______； (4)当x＞0时，y 随x 的增大而______； (5)当x____时，y＝0； (6)当x____时，函数值 y 最____，是___．
导引：根据二次函数 y＝ax 2(a≠0)的性质直接作答．
例3 已知抛物线y＝4x 2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0 时，y1 ________ y2.导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1， 将它们分别代入y＝4x 2中，得y1＝16， y2＝4，所以y1＞y2. 方法二：在平面直角坐标系中画出抛 物线 y＝4x 2，如图，显然y1＞y2. 方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧， y 随x 的增大而减小，所以y1＞y2.
方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；方法二运用数形结合思想，根据题意画出图像，利用图象来解题；方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达式的特点，结合图像的性质进行判断．
不画图像，请指出函数 y＝－9x 2图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高(或最低)点．
开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，最高点为(0，0)．
2 若二次函数 y＝－ax 2，当x＝2时，y＝ ；则当x＝－2时，y＝________．
先指出抛物线 y＝－ x 2的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后再画出它的图像.
开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)．图像如图．
3 下列关于函数 y＝36x 2的叙述中，错误的是(　　) A．图像的对称轴是y 轴 B．图像的顶点是原点 C．当x＞0时，y 随x 的增大而增大 D．y 有最大值4 抛物线y＝ x 2，y＝x 2，y＝－x 2的共同性质是： ①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对 称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
已知抛物线 y＝ax 2(a＞0)过A (－2，y1)，B (1，y2)两点， 则下列关系式一定正确的是(　　) A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
已知二次函数 y＝x 2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
易错点：不能准确地掌握二次函数 y＝ax 2的图像与性质
当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；当x＝4时，y＝42＝16.∴在－1≤x≤4这个范围内，函数 y＝x 2的最小值是1，最大值是16.－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值 y 随x 的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时，y＝16，所以最大值为16.∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数 y＝x 2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.∴当－1≤x≤4时，函数 y＝x 2的最大值为16.
函数 y＝k (x－k )与y＝k x2，y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C1：y＝x 2(x ≥0)和抛物线C2：y＝ (x ≥0)交于A，B 两点，过点A 作CD∥x 轴分别与y 轴和抛物线C2交于点C，D，过点B 作EF∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E，F，则 的值为(　　) B. C. D.
3 对于二次函数：①y＝3x 2；②y＝ x 2；③y＝ x 2，它们的图像在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(　　) A．②>③>① B．②>①>③ C．③>①>② D．③>②>①
4 已知函数 y＝(m＋3)x m 2＋3m－2是关于x 的二次函数． (1)求m 的值． (2)当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m 为何值时，该函数有最小值？
(2)∵函数图像的开口向下， ∴m＋3＜0. ∴m＜－3. ∴m＝－4. ∴当m＝－4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0. ∴m＞－3.∴m＝1. ∴当m＝1时，该函数有最小值．
5 根据下列条件分别求a 的值或取值范围． (1)函数 y＝(a－2)x 2，当x＞0时，y 随x 的增大而减小， 当x＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数 y＝(3a－2)x 2有最大值； (3)抛物线 y＝(a＋2)x 2与抛物线y＝－ x 2的形状相同； (4)函数 y＝axa 2＋a 的图像是开口向上的抛物线．
(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜ .(3)由题意得|a＋2|＝ ， 解得a1＝－ ，a2＝－ .(4)由题意得a 2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1. 又由题意知a＞0，∴a＝1.
已知一次函数 y＝kx＋b 与二次函数 y＝ax 2的图像如图所示， 其中一次函数的图像与x 轴，y 轴的交点分别为A (2，0)，B (0，2)，直线与抛物线的交点分别为P，Q，且它们的纵坐标 的比为1∶4，求这两个函数的表达式．
如图，抛物线 y＝ax 2与直线 y＝kx＋b 在第一象限内交于点 A(2，4)． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)在x 轴上是否存在一点P，使 △AOP 为等腰三角形？ 若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)将A(2，4)的坐标代入 y＝ax 2得4＝4a，∴a＝1. ∴抛物线表达式为 y＝x 2.
1. 画函数图像的步骤有哪些？2. 二次函数 y =ax 2的图像有哪些性质？