初中数学冀教版九年级下册30.5 二次函数与一元二次方程的关系评优课ppt课件

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一元二次方程根的判别式： 式子b ²-4ac 叫做方程ax 2+bx+c =0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母 Δ 表示.(1)当Δ> 0时，方程ax 2+bx+c =0(a≠0)有两个不等的实数根.(2)当Δ= 0时，方程ax 2+bx+c =0(a≠0)有两个相等的实数根.(3)当Δ< 0时，方程ax 2+bx+c =0(a≠0)无实数根.
二次函数与一元二次方程之间的关系
1.一次函数 y =kx +b 与一元一次方程 kx +b=0有什么关系?2.你能否用类比的方法猜想二次函数 y =ax 2+bx +c 与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系?
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)之间具有关系：h= 20t – 5t 2 . 考虑下列问题：（1）球的飞行高度能否达到 15 m？ 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m？若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于小球的飞行高度h 与飞行时间t 有函数关系h＝20t －5t 2，所以可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h 的值．
解：（1）当h=15时，20t - 5t 2=15， t 2-4t +3=0， t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t - 5t 2=20，
t 2-4t +4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）当h=20.5时，20t - 5t 2=20.5， t 2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（4）当h=0时，20t - 5t 2=0， t 2- 4t=0， t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m， 即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
从以上可以看出： 已知二次函数 y 的值为m，求相应自变量x 的值，就是求相应一元二次方程的解.例如，已知二次函数 y =-x 2+4x 的值为3，求自变量x 的值.就是求方程 3=-x 2+4x 的解.例如，解方程x 2-4x+3=0，就是已知二次函数 y =x 2-4x+3的值为0，求自变量 x 的值.
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
导引：要求抛物线 y＝3x 2－8x＋4与x 轴的公共点坐标即需 求y＝0时对应的 x 的值；可令y＝0，根据3x 2－8x＋ 4＝0的根来确定抛物线与 x 轴的公共点的横坐标．解：令 y ＝0 , 则3x 2－8x＋4＝0 , 解方程得：x1＝ , x2＝2. ∴抛物线 y＝3x 2－8x＋4与x 轴的两个公共点的坐标 为 ，(2，0)．
例1 求抛物线 y＝3x 2－8x＋4与x 轴的两个公共点的坐标．
本例将求抛物线与 x 轴的公共点这个几何问题转化为求一元二次方程的根的问题来解决，它充分体现了由形到数的转化思想．
观察图象(如图)填空：
(1)二次函数 y＝x 2＋x－2的图象与 x 轴有______个交 点，则一元二次方程x 2＋x－2＝0的根的判别式 Δ________0；(2)二次函数 y＝x 2－6x＋9的图象与x 轴有_____个交 点，则一元二次方程x 2－6x＋9＝0的根的判别式 Δ_______0；(3)二次函数 y＝x 2－x＋1的图象与x 轴_______公共点， 则一元二次方程x 2－x＋1＝0的根的判别式Δ_____0.
小兰画了一个函数 y＝x 2＋ax＋b 的图象如图，则关于x 的 方程x 2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
若二次函数 y＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x－2)2＋1＝0的实数根为(　　)A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝ ，x2＝ D．x1＝－4，x2＝0
二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
二次函数 y =x 2+x-2，y =x 2-6x+9，y =x 2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与 x 轴有几个交点？(2)一元二次方程 x 2+x-2=0，x 2-6x+9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x 2–x+1=0有根吗?(3)二次函数 y =ax 2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元 二次方程ax 2+bx+c =0的根有什么关系?
（1）2个，1个，0个.（2）2个根，2个相等的根，无实数根.（3）
通过二次函数 y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象可知：(1)如果抛物线 y =ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值为0，因此x =x0就是方程ax 2+bx+c =0的一个根.
(2)抛物线 y =ax 2+bx+c (a≠0)与 x 轴的位置关系与一元二次方程ax 2+bx+c =0(a≠0)的根的关系：
例2 若抛物线 y ＝x 2＋bx＋c 与x 轴只有一个公共点，且过点 A (m，n)，B (m＋6，n)，则n＝_____．
导引：∵抛物线 y＝x 2＋bx＋c 与x 轴只有一个公共点，∴当x ＝－ 时，y＝0，且b 2－4c＝0，即b 2＝4c. 又∵抛物 线过点A (m，n)，B (m＋6，n)，∴点A，B 关于直线x ＝－ 对称． 将A点坐标代入抛物线对应的函数表达式，得n＝ ＋c＝－ b 2＋c＋9，∵b 2＝4c， ∴n＝－ ×4c＋c＋9＝9.
下列抛物线中，与x 轴有两个交点的是(　　)A．y＝3x 2－5x＋3 B．y＝4x 2－12x＋9C．y＝x 2－2x＋3 D．y＝2x 2＋3x－4
抛物线 y＝x 2＋bx＋1与 x 轴只有一个公共点，则b 等于(　　)A．2 B．－2 C．±2 D．0
已知函数 y＝ax 2－2ax－1(a 是常数，a≠0)，下列结论正确的是(　　)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与 x 轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而增大
如图，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(　　)个．A．1 B．2 C．3 D．4
若函数 y ＝x 2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是(　　)A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
易错点：混淆“与x 轴交点”与“与坐标轴交点”而致错
已知二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值 y 随 x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
抛物线 y＝x 2－1向下平移8个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为(　　)A．4 B．6 C．8 D．10
(1)∵抛物线 y＝－x 2＋mx＋3过点B (3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2.
如图，已知抛物线 y ＝－x 2＋mx＋3与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，抛物线 与直线 y＝－ x＋3交于C，D 两点．连接BD，AD. (1)求m 的值． (2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝ 4S△ABD，求点P 的坐标．
4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k 为常数． (1)求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)已知函数 y＝x 2＋(k－5)x＋1－k 的图象不经过第三象限，求k 的 取值范围； (3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值．
(1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4(1－k )＝k 2－6k＋21＝(k－3)2＋12＞0， ∴无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意知抛物线开口方向向上，∵Δ＝(k－3)2＋12＞0，∴抛物线 与x 轴有两个交点，设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∵抛物线不经过第三象限，∴x1＋x2＝5－k＞0，x1·x2＝1－k≥0，解得 k≤1，即k 的取值范围是k≤1；(3)解：设方程的两个根分别是x1′，x2′，根据题意，得(x1′－3)(x2′－3)＜0， 即x1′·x2′－3(x1′＋x2′)＋9＜0，又x1′＋x2′＝5－k，x1′·x2′＝1－k，代入得， 1－k－3(5－k)＋9＜0，解得k＜ .则k 的最大整数值为2.
5 已知二次函数的表达式为 y＝x 2＋mx＋n. (1)若这个二次函数的图象与x 轴交于点A(1，0)，点B (3， 0)，求实 数m，n 的值； (2)若△ABC 是有一个内角为30°的直角三角形，∠C 为直角，sin A， cs B 是方程x 2＋mx＋n＝0的两个根，求实数m，n 的值．
如图，抛物线 y＝x 2－3x＋ 与x 轴相交于A，B 两点，与y 轴相交 于点C，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线， 与直线BC 相交于点E. (1)求直线BC 的表达式； (2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．