初中数学人教版九年级下册27.3 位似优秀课件ppt

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如图所示的是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm．幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯中的小树的高度是10 cm，请你利用相似三角形的知识，算出屏幕上小树的高度． 事实上，幻灯机工作的实质是将图片中的图形放大．本节知识将对上述问题作系统的讲解．
位似图形的坐标变化规律
　　如图(1)，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为　 把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
　　如图(2)，△AOC 三个顶点的坐标分别为A (4，4)，Ｏ (0，0)，C (5, 0)．以点O 为位似中心，相似比为2，将△AOC 放大. 观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
　　可以看出，图(1)中，把AB 缩小后，A，B 的对应点为A′ (2，1)，B ′ (2， 0)； A″ (－2，－1)，B ″ (－2, 0)．图 (2)中，把△AOC 放大后，A，Ｏ，C 的对应点为Ａ′(8，8)，O (0， 0)，C ′ (10， 0)； A ″ (－8，－8)，O (0，0)，C ″ (－10， 0).
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)． 注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比．
例1 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为 在第一象限内把线段AB 缩小后得到线 段CD，则点C 的坐标为(　　) 　A．(2，1)　　　　 B．(2，0) C．(3，3)　　　　 D．(3，1) 导引：根据题意可知，A(6，3)，原点O 为位似中心且在第一 象限内将线段AB 缩小为原来的 C (2，1)，故选择A.
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k，此种类型的题目要注意多种可能．
如图，把△AOB 缩小后得到△COD，求△COD 与△AOB 的相似比.
2 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐 标系，△ABO 与△A′B ′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它 们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为(　　) A．(0，0)　 B．(0，1)　 C．(－3，2)　 D．(3，－2)
如图，线段CD 的两个端点的坐标分别为C (1，2)， D (2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得 到线段AB，若点B 的坐标为(5，0)，则点A 的坐标 为(　　) A．(2，5)　 B．(2.5，5)　 C．(3，5)　 D．(3，6)
4 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－3，6)，B (－9，－3)， 以原点O 为位似中心，相似比为 把△ABO 缩小，则点A 的对 应点A′的坐标是(　　) A．(－1，2) 　 B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18) 　 D．(－1，2)或(1，－2)
在平面直角坐标系中画位似图形
如图，在平面直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，位似比为3∶1，把线段AB 缩小．观察对应点之间的坐标的变化，你有什么发现？ 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 － k.
　　一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y )对应的位似图形上的点的坐标为（kx， ky )或(－kx ，－ky ).
例2 如图， △ ABO 三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，　　　　　　　B (－2，0)，Ｏ(0，0)．以原点Ｏ 为位似中心，画出　　一个三角形，使它与△ ABO 的相似比为　
分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各　　　顶点坐标．根据前面总结的规律，点A 的对应点A′　　　的坐标为 　　　　　　　　　　　可以确定其他顶点的坐标．解：如图，利用位似中对应点的坐标 的变化规律，分别取点A′(－ 3， 6)，B ′(－3， 0)， O (0， 0)．顺次 连接点A′，B ′，O，所得△ A′B ′O 就是要画的一个图形．
即(－3，6)．类似地，
　　在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.若原图形中一点的坐标为(x0，y0)，则其对应点的坐标为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)．
如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(4，－ 5)，B (6，0)，O (0，0)．以原点O 为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′ B ′ O ′ ．写出 △ A′B ′O ′ 三个顶点的坐标.
解：△A′B′O ′三个顶点的坐标分别为 A′(－8，10)，B ′(－12，0)， O ′(0，0)或A′(8，－10)， B ′(12，0)，O ′(0，0)．
在平面直角坐标系中，点C，D 的坐标分别为C (2，3)，D (1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB.若点D 的对应点B 在x 轴上且OB＝2，则点C 的对应点A 的坐标为___________________．
(4，6)或(－4，－6)
如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 进行位似变换得到△A1B1C1.(1)求△A1B1C1与△ABC 的相似比；(2)画出△A1B1C1关于y 轴对称的△A2B2C2；(3)设点P (a，b)为△ABC 内一点，则依上述两次变 换后，点P 在△A2B2C2 内的对应点P2的坐标是 多少？
解：(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是2：1. (2)如图所示． (3)∵点P (a，b)为△ABC 内一点， ∴依上述两次变换后，点P 在△A2B2C2内的对应点P2的坐 标是(－2a，2b)．
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC 的相似比为21，则点B 的对应点B1的坐标是__________________________．
易错点：题意理解不透导致漏解.
易错总结：画位似图形时，通常有两种情况：一种是位似 中心在对应点同侧，另一种是位似中心在对应 点之间．此题易忽略第二种情况．
(4，2)或(－4，－2)
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG是 以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为 点A，B，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点的坐标为(　　) A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1， △AOB 与△A′OB ′是以原点O 为位似中心的位似图形，且 相似比为3∶2，点A，B 都 在格点上，则点B ′的坐标 是___________．
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系， 已知△ABC 三个顶点分别为A(－1，2)，B (2，1)，C (4，5)． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O 为位似中心，在x 轴 的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为2，并求 出△A2B2C2的面积．
(1)如图，△A1B1C1就是所求三角形．(2)如图，△A2B2C2就是所求三角形． 分别过点A2，C2作y 轴的平行线， 过点B2作x 轴的平行线，交点分别 为E，F. ∵A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)， △A2B2C2与△ABC 位似，且位似比为2， ∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)． ∴S△A2B2C2＝ ×(2＋8)×10－ ×2×6－ ×4×8＝28.
如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)， B (3，－2)，C (2，－4)．(正方形网格中，每个小正方 形的边长是1个单位长度) (1)画出△ABC 向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1； (2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C 与△ABC 位似，且△A2B2C 与△ABC 的相似比为2∶1，并直 接写出点A2的坐标．
(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C 就是所要画的三角形，点A2的坐标为(－2，－2)．
在平面直角坐标系中，将坐标是(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)， (4，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案． (1)在如图所示的坐标系中画出这个图案(图案①)． (2)若将上述各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，再将所得 的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案(图案②)． (3)若将上述各点的纵坐标保持不变， 横坐标分别乘－1，再将所得的各点 用线段依次连接起来，画出所得的 图案(图案③)． (4)图案①与图案②有什么位置关系？图案①与图案③有什么位置关系？
(1)图略．(2)将点(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的横坐标保 持不变，纵坐标分别乘－1，得(0，－4)，(1，0)，(2，－4)， (3，0)，(4，－4)，然后描点连线，图略．(3)将点(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的纵坐标保持不 变，横坐标分别乘－1，得(0，4)，(－1，0)，(－2，4)，(－3，0)， (－4，4)，然后描点连线，图略．(4)图案①与图案②关于x 轴对称，图案①与图案③关于y 轴对称．
如果两个一次函数 y＝k1x＋b1和 y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2， 那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数 y＝－2x＋4的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，一次函数 y＝kx＋b 与 y＝－2x＋4是“平行一次函数”． (1)若函数y＝kx＋b 的图象过点(3，1)，求b 的值； (2)若函数y＝kx＋b 的图象与两坐 标轴围成的三角形和△AOB 构 成位似图形，位似中心为原点， 相似比为1∶2，求函数 y＝kx＋b 的表达式．
(1)由已知得k＝－2，把点(3，1)的坐标和k＝－2代入 y＝kx＋b，得1＝－2×3＋b，∴b＝7.(2)如图，根据相似比为1∶2得，函数y＝kx＋b 的图象 有两种情况： ①不经过第三象限时，过点(1，0)和(0，2)，这时 函数表达式为y＝－2x＋2； ②不经过第一象限时，过点(－1， 0)和(0，－2)，这时函数表达式为 y＝－2x－2.
1.图形变换的种类： (1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等变换 包括平移、旋转、轴对称． (2)相似变换：相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状， 位似是相似的特殊情况．2. (1)当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k (k ＞0)；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比 为－k. (2)当k＞1时，图形扩大；当0＜k＜1时，图形缩小．