高中北师大版 (2019)第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件第2课时教学设计及反思

                          第2课时  充要条件

学习目标:

1.理解充要条件的意义.

2.掌握充分、必要、充要条件的应用.

3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.

4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理素养的培养.

教学重点、难点

重点：充要条件的意义.

难点：对充要条件的理解.

教学方法

    探究讨论指导法

教学过程[中国教育*出&@^#版网][来源:*中@^~教网#]

【问题思考】 [来源^:*&中教%网~]

一、充要条件的含义

1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?

提示:因为p⇒q,所以p是q的充分条件.

又q⇒p,所以p是q的必要条件.

(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?

提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,且q⇒p都成立,即p⇔q.

2.抽象概括

一般地,如果 p⇒q ,且 q⇒p ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作 p⇔q .

3.想一想:符号“⇔”的含义是什么?

提示:符号“⇔”的含义是“等价于”.

 二、充分条件、必要条件、充要条件的判断 [来源:zzstep.%c@#om&*]

【问题思考】

1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},

(1)集合A,B满足什么关系?

(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件? [来#%源&:~中教网^]

提示:(1)B⫋A.

(2)p是q的必要条件.

2.想一想:若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?

提示:充分条件与必要条件是共存的,若p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.

3.若p q,但q p,则p是q的充分条件，但不是必要条件，若q p,但pq,则p是q的必要条件，但不是充分条件.

4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

设条件p,q对应的集合分别为A,B.

(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⫋B,则p是q的充分条件,但不是必要条件; [来源&:z*zstep.co@~m%]

(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⫋A,则p是q的必要条件,但不是充分条件;

(3)若A=B,则p,q互为充要条件.

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)当p是q的充要条件时,也可以说成q成立当且仅当p成立.(  √  )

(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.(  √  )

（3）若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.（√）

(4)“1<x<2”是“x<2”成立的必要条件,但不是充分条件.(  ×  )

合作探究·释疑解惑

探究一  充要条件的判断

例1. 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.

(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;

(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.

解:(1)由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,

故p是q的充要条件. [来源:%@中~&教*网]

(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.

点睛：判断充要条件的两种思路

(1)命题角度:判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.

(2)集合角度:从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解.

变式1.a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A.ab=0  B.ab>0

C.a2+b2=0  D.a2+b2>0

解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.

答案:D [中@国*教育%&出版#网]

探究二  充分、必要条件的判断

例2：在下列各题中,试判断p是q的什么条件.

(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;

(2)p:a>b,c<0,q:ac<bc;

(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.

解: (1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p     q,而x>1,y>3可得x+y>4,即q⇒p,故p是q的必要条件,但不是充分条件.

(2)当a>b,c<0时,有ac<bc,即p⇒q,而当ac<bc时,可不一定有a>b,c<0,也可能是a<b,c>0,即q     p,故p是q的充分条件,但不是必要条件.

(3)如图.由图可知p,q对应集合间无

包含关系,故p既不是q的充分条件,[来^&%源:中教网@~]

也不是q的必要条件.  [ww#w%.zzstep@.*com~]

点睛：充分、必要条件判断的常用方法

(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断;

(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的等价命题判断;

(3)集合法. [来源:zz@st#e^*%p.com]

变式2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:

①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; [来源:#中国教育~出版网%^@]

②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;

④“a<5”是“a<3”的必要条件.

其中为真命题的是　　　　　.(填序号) 

解: ①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.

答案:②④

探究三  充要条件的证明

例3 .已知x,y都是非零实数，且x>y,求证：的充要条件是xy>0.

证明：（1）充分性：∵xy>0，且x>y,

∴，即.

（2）必要性：，即

又x>y,即＜0，∴xy>0.

点睛：1.要证明充要条件,就是要证明两个,一个是充分条件,另一个是必要条件.

2.证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.

变式3.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.

证明:设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.[来源:&中%国教育^出版~网@]

必要性:因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根,

所以＜0，

所以.

充分性：由可得，

所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根.  [来源:z~@z^step.#*com]

探究四   与 充分、必要及充要条件相关的参数值的求解

例4. 已知条件p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},条件q:B={x|1≤x≤2},当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件.

分析:将p,q的关系转化为A,B的关系→构建不等式求解→解不等式得结论 .

解:由已知A={x|(x-1)(x-a)≤0},B={x|1≤x≤2}.

因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,而当a=1时,A={1},显然成立;

当a>1,A={x|1≤x≤a},则需a<2,故1<a<2;

当a<1时,A={x|a≤x≤1},显然不满足A⫋B. [www#.~zz%ste@p.^com]

综上可知1≤a<2时,p是q的充分条件,但不是必要条件. [www.*z@z&step.~c^om]

拓展：

1.本例中条件不变,若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数a的取值范围. [中#国教@育出&%版网^]

解:因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B⫋A,则A={x|1≤x≤a},且a>2,所以a>2时p是q的必要条件,但不是充分条件.

2.本例中条件不变,若p是q的充要条件,求实数a的值.

解:因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2.

3.若把本例中集合B改为B={x|-2≤x≤1},其他条件不变,则当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件?

解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,与例4同理,可得-2<a≤1. [中国教育出&版*网~#%]

点睛：应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:

(1)根据已知条件将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;

(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.[中国教~#育出*版网%@]

易  错  辨  析

不能准确判断充要条件致误

例：“函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方”是“0<a<4”的　　　　　条件. 

错解  设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0<a<4.

因为当0<a<4时,方程ax2+ax+1=0的判别式Δ<0,所以当0<a<4时,y=ax2+ax+1>0恒成立,即函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q⇒p.

当函数的图象在x轴的上方时，有，

得0<a<4,故p⇒q.

所以p是q的充要条件.

答案  充要 [来源:%^中教网~@&]

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? [来源:zz^@step.&com*%]

提示:忽略了a=0时y=ax2+ax+1>0变为1>0这一情况.

正解: 设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0<a<4. [来源%^:@*中教网&]

因为当0<a<4时,方程ax2+ax+1=0的判别式Δ<0,所以当0<a<4时,函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q⇒p.

而当a=0时,函数y=ax2+ax+1的值为1,其图象在x轴上方,

所以p     q.

故p为q的必要条件,但不是充分条件.

答案:必要不充分

警示：用定义判断时无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.

随  堂  练  习

1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(　　)

A.充分条件,但不是必要条件

B.必要条件,但不是充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,

∴a∈B,且a≠1,

∴a=2或a=3,

∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件,但不是必要条件.

答案:A

2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(　　)

A.m=-2 B.m=2 

C.m=-1 D.m=1

解析:由函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称. [w@ww.zzs*&te#p.com~]

答案:A

3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的(　　)

A.充分条件,但不是必要条件

B.必要条件,但不是充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.

答案:B

4.设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的(　　)

A.充要条件

B.充分条件,但不是必要条件

C.必要条件,但不是充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析:因为p:x<3,q:-1<x<3,所以q⇒p,但p推不出q,所以p是q成立的必要条件,但不是充分条件,故选C.

答案:C [中国&%@教育^出版~网]

5.若“p:x(x-3)<0”是“q:2x-3<m”的充分条件,但不是必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　. 

解析：由p:x(x-3)<0，得p:0<x<3,[来@源:中*&国%教育#出版网]

由q:2x-3<m，得q:x< ，

由题意，得p⇒q,q推不出p，则≥3，解得m≥3.

答案:[3,+∞)

[中#国%^@教育出版网~]

课堂总结[来源%:#zzstep.&c^om*]

1.充要条件的概念；

2.充要条件的判断[来源:中国教&育~出版网@%#]

课后作业

课本第16页练习1，2题

板书设计

                           充要条件

1.充要条件的概念[www.z#zste&*p~.co@m]

2.充分条件、必要条件、充要条件的判断[中&国教育@^出*版网#]

[中国教育#^出版网~*@]