高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.3 集合的基本运算学案设计

第3课时　交集与并集

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　交集

1．交集的定义

一般地，由________________的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作________，读作“A交B”，即A∩B＝{x|____________}．

2．图形表示

3．运算性质

A∩B＝________，A∩B________A，A∩B________B；A∩A＝________，A∩∅＝________.

答案：

1．既属于集合A又属于集合B　A∩B　x∈A，且x∈B

3．B∩A　⊆　⊆　A　∅

【主题2】　并集

1．并集的定义

一般地，由所有________________的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作________，读作“A并B”，即________＝{x|x∈A，或x∈B}．

2．图形表示

3．运算性质

A∪B＝________，A________A∪B，B________A∪B，A∪A＝________，A∪∅＝________.

答案：

1．属于集合A或属于集合B　A∪B　A∪B

3．B∪A　⊆　⊆　A　A

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)若x∉(A∩B)，则x∉A且x∉B.(　　)

(2)当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集．(　　)

(3)A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．(　　)

答案：(1)　解析：因为A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉(A∩B)可分三种情况：x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B.

(2)　解析：当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.

(3)　解析：因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．

2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)

A．{0,1}   B．{－1,0,2}

C．{－1,0,1,2}   D．{－1,0,1}

答案：C　

解析：M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．

3．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是(　　)

A．N⊆M   B．M∪N＝M

C．M∩N＝N   D．M∩N＝{2}

答案：D　

解析：因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}，排除C，故选D.

4．已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x<7}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

答案：{x|3<x<7}　R　

解析：由图可知，

A∩B＝{x|3<x<7}，A∪B＝R.

课堂篇·重难要点突破

研习1　交集与并集运算

[典例1]　(1)已知集合M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2(x－3)}，那么M∩P＝(　　)

A.

B．{x|－1<x<3}

C．{x|－1≤x≤3}

D．{x|x≤3}

(2)(2020·上海高一检测)设集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8,10}，则A∪B＝(　　)

A．{2,4}    B．{1,2,3,4,5,6,8,10}

C．{1,2,3,4,5}    D．{2,4,6,8,10}

(3)已知A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝.

求①A∩B；②(A∩B)∪P.

(1)答案：C　

解析：∵M＝{x|y2＝x＋1}＝{x|x＋1≥0}＝{x|x≥－1}，

P＝{x|y2＝－2(x－3)}＝{x|x≤3}，

∴M∩P＝{x|－1≤x≤3}．

故选C.

(2)答案：B

(3)解：①因为A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤3}，由数轴表示可知A∩B＝{x|－1<x≤2}．

②由A∩B＝{x|－1<x≤2}及P＝{x并结合数轴表示得(A∩B)∪P＝.

[延伸探究]　在本例(3)中，条件不变，求(A∪B)∩(A∩P)．

解：因为A∪B＝{x|－4≤x≤2}∪{x|－1<x≤3}＝{x|－4≤x≤3}，

A∩P＝{x|－4≤x≤2}∩＝{x|－4≤x≤0}，

所以(A∪B)∩(A∩P)＝{x|－4≤x≤3}∩{x|－4≤x≤0}＝{x|－4≤x≤0}．

求集合交集、并集的两种题型及解法

(1)有限集：一般需把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集的定义分别求出，也可借助于Venn图求解．

(2)无限集：若集合是实数集的子集，一般先把集合分别表示在数轴上，然后利用交集、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但要注意端点值．

 [练习1](1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝(　　)

A．{1,4}   B．{2,3}

C．{9,16}   D．{1,2}

(2)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，下列集合中与A∪B相等的是(　　)

A．{4,5,6,7,8}   B．{3,4,6,7,10,16}

C．{3,4,5,6,7,8,9}   D．{3,4,5,6,7,8}

(1)答案：A　

解析：当n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．

(2)答案：D　

解析：由A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，得A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，故选D.

研习2　已知集合的交集、并集求参数

[典例2]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若A∩B＝B，求实数m的取值范围．

[审题路线图]A∩B＝B⇒B⊆A⇒结合数轴求参数．

解：因为A∩B＝B，所以B⊆A，

①当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A.

②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，

则解得2≤m≤3.

综上所述，m的取值范围为{m|m≤3}．

[延伸探究]　(1)在本例中，若A∩B＝{x|4≤x≤5}，其他条件不变，求m的值．

(2)本例中，若“A∩B＝A”，求实数m的取值范围．

(1)解：由A∩B＝{x|4≤x≤5}，得解得m＝3.　　　

(2)解：由A∩B＝A，得A⊆B.则解得m∈∅.　　　

并集、交集性质的应用技巧

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．

[练习2]集合A＝{x|2<x≤5}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________．

答案：{a|a>2}　

解析：如图，利用数轴表示出集合A，B.

∵A∩B≠∅，∴由数轴可得a>2.

课后篇·演练提升方案

1．已知M＝{x|x是平行四边形}，P＝{x|x是梯形}，则M∩P＝(　　)

A．M

B．P

C．{x|x是平行四边形且是梯形}

D．∅

答案：D　

解析：平行四边形的两组对边分别平行，而梯形的一组对边平行，另一组对边不平行．∴M∩P＝∅.

故选D.

2．已知集合A＝，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝(　　)

A.  B．{2}  C．{1}  D．∅

答案：C　

解析：由题意，得B＝，故A∩B＝{1}．故选C.

3．已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|－1＜x＜a}，C＝{x|b＜x＜2}，且A∩B＝C，则a，b的值为(　　)

A．5，－7   B．5，－5

C．2，－7   D．2，－1

答案：D　

解析：由{x|－5＜x＜5}∩{x|－1＜x＜a}＝{x|b＜x＜2}，可知a＝2，b＝－1.故选D.

4．已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋2x＋8，x∈R}．求M∩N，M∪N.

解：∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

∴M＝{y|y≥－1}．

∵y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9≤9，

∴N＝{y|y≤9}．

利用数轴易得M∩N＝{y|－1≤y≤9}，M∪N＝R.

 [误区警示]　遗漏集合运算中的空集致误

 [典例]　若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，求由实数a组成的集合C.

[错解]　由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1,3}．

∵A∩B＝B ，∴B⊆A，从而B＝{－1}或B＝{3}．

当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；

当B＝{3}时，由a×3－2＝0，得a＝.

故由实数a组成的集合C＝.

[错因分析]　由交集定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∩∅＝∅，所以错解忽略了B＝∅时的情况．

[正解]　①当B≠∅时，同上解法，得a＝－2或a＝.

②当B＝∅时，由ax－2＝0无实数根，得a＝0.

综上可知，实数a组成的集合C＝.

[防范措施]　(1)学习集合的交集、并集，不但要理解概念，还要弄清、熟记交集、并集的一些性质，这些性质往往是解此类问题的突破口．

(2)已知集合间的包含关系(或由已知条件推出)时，要有分类讨论的意识，另外空集这一特殊集合也不容忽视．