高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课时训练

【精编】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-1同步练习

一．填空题

1．若存在实数，使得时，函数的值域也为，其中且，则实数的取值范围是______.

2．函数的单调递减区间是______；函数的值域是______.

3．已知，则           ．

4．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=______________

5．方程的实数解的个数为__________.

6．已知函数的图象与直线相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则的最小值是______.

7．已知函数.若的定义域为R，则实数a的取值范围是______________；若的值域为R，则实数a的取值范围是_______________.

8．函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是     ．

9．有下列命题：

①函数与的图象关于轴对称；

②若函数，则，都有；

③若函数，在上单调递增，则；

④若函数，则函数的最小值为．

其中真命题的序号是______．

10．关于的方程的解集为A，若A为单元素集，则_________．

11．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于0，则的最小值为_________．

12．已知函数经过定点，则______.

13．已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.

14．设，函数有最大值，则不等式的解集为       ．

15．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由已知可构造有两不同实数根，利用二次方程解出的范围即可.

【详解】

为增函数，

且时，函数的值域也为，

，

相当于方程有两不同实数根,

有两不同实根，

即有两解，

整理得：，

令 ，

有两个不同的正数根，

只需即可，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.

2．【答案】    （0，16] 

【解析】利用复合函数“同增异减”的判断方法判断函数的单调性即可求解.

详解：令，则函数在上单调递减，

在上单调递增.

对函数，令，

得或，又在上单调递增，

所以由复合函数单调性可知，

函数的单调递减区间是；

对函数，又在上单调递减，

由复合函数单调性可知，

函数在上单调递增，

在上单调递减，

故函数的值域是 .

故答案为：；（0，16]

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性及指数．对数函数的单调性，考查利用单调性求值域，属于中档题.

3．【答案】12

【解析】解：因为，则

4．【答案】0

【解析】令于是

5．【答案】个

【解析】构造函数，，，，画出图象判断交点个数即可判断方程解的个数．

详解：方程，

，，，，

函数图象的交点个数为：1个．

方程的实数解的个数为1.

故填：1个.

【点睛】

本题考查利用数形结合的思想，解决方程解的个数，关键是把方程的根的个数，转化为研究两个函数图象交点的个数．

6．【答案】3.

【解析】由题知两函数其中一个交点，另一个交点的纵坐标为1，得 ，利用交点满足两函数解析式可求出，由均值不等式求最小值即可.

详解：解：函数与直线过，

由函数的图象与直线相交.其中一个交点的纵坐标为1得，设交点，代入，，

，

再把点代入直线方程：，即，当且仅当时，等号成立，取最小值3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.

7．【答案】     

【解析】若的定义域为R则恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若的值域为R，则可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数．二次函数的图象与性质列出不等式组求解.

详解：因为的定义域为R，所以恒成立，

①若，则，解得，不满足题意；

②若，则.

综上所述，a的取值范围是.

若的值域为R，则可取遍所有正数，

①若，可取遍所有正数，满足题意；

②若，则.

综上所述，a的取值范围是.

故答案为：；

【点睛】

本题考查对数函数的定义域与值域．二次不等式恒成立问题．二次函数的图象与性质，属于中档题.

8．【答案】（﹣∞，0）

【解析】详解：先求函数的定义域设u（x）=x2﹣2x则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数3＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．

解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，

令u（x）=x2﹣2x的减区间为（﹣∞，0）

∵3＞1，

∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）

故答案：（﹣∞，0）

考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．

9．【答案】②④

【解析】根据函数与的图象关于轴对称和图象的平移变换可判断出①的正误，利用基本不等式可得②的正误，由函数在区间上单调递增，可得，然后可判断出③的正误，将函数图象左右平移，函数的最大值最小值不变，故函数与函数的最小值相同，即可得出④的正误.

详解：函数与的图象关于轴对称，将函数与的图象都向右平移2个单位，

便得函数与的图象，所以函数与的图象关于对称，故①错误；

若函数，则，都有，故②正确

函数在区间上单调递增，所以，从而，故③错误

将函数图象左右平移，函数的最大值最小值不变，

所以函数与函数的最小值相同，为，故④正确

故答案为：②④

【点睛】

本题综合考查函数的图象及性质，考查了学生的分析问题和处理问题的能力，属于中档题.

10．【答案】10或

【解析】根据题意，先得到方程只有一个根；分，两种情况求解，即可得出结果.

详解：由题意可得：方程只有一个根；

当，即时，原方程可化为，解得：，满足题意；

当，即时，只需，

即，

所以，因此.

故答案为：10或.

【点睛】

本题主要考查由集合元素的个数求参数的问题，涉及对数的运算，属于基础题型.

11．【答案】

【解析】函数的图象恒过定点A(-3,-1),

则,即.

.

12．【答案】2

【解析】利用指数函数的性质，求得，代入运算即得解.

详解：已知函数经过定点，故

故答案为：2

【点睛】

本题考查了指数函数的定点和对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】试题分析：将-1和1分别代入原函数，由，解方程可得a值；由题知，时，，要使函数存在最小值，只需解出a的取值范围即可.

详解：，

，

，

.

易知时，；

又时，递增，故，

要使函数存在最小值，只需，

解得：.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查指数函数和对数函数的单调性和值域，属于基础题.

14．【答案】

【解析】∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，∴0<a<1.∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0<x2－5x＋7<1，解得2<x<3.

∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为(2,3)．

15．【答案】

【解析】令t（x）＝x2﹣ax+2a，则由题意可得t的对称轴x1，且 t（1）＝1+a＞0，由此求得a的取值范围．

【详解】

令t（x）＝x2﹣ax+2a，则函数f（x）＝log2t（x），又单调递增，则t（x）＝x2﹣ax+2a在区间单调递增

由题意可得函数t（x）的图象的对称轴 x1，且 t（1）＝1+a＞0，

求得a≤2，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．