高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质复习练习题

【优质】3.2 指数函数的图象和性质-3同步练习

一．填空题

1．以下说法中正确的是__________．

①函数在区间上单调递减；

②函数的图象过定点；

③若是函数的零点，且，则；

④方程的解是

2．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数在上是以3为上界的函数，则实数a的取值范围是______．

3．已知函数的图像经过第二．三．四象限，，则的取值范围是_______．

4．不等式的解集是__________

5．已知函数f（x）=x2﹣ax（a＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，恒成立，则实数a的取值范围是__．

6．设，则实数的取值范围是______.

7．若，，，则，，按从大到小的顺序排列依次为______．

8．不等式的解集是______．

9．关于x的方程2015x=有实数根，则实数a的取值范围为______．

10．若存在非负整数x使成立，则实数m的取值范围是________．

11．函数（且）的图象过定点___________.

12．函数的图像恒经过点___

13．函数且的反函数过点，则______．

14．方程的解集为________.

15．不等式的解集为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】②④

【解析】利用反比例函数的单调性．指数型函数的图象．零点的定义．指数方程的解法对四个说法逐一判断，得出正确的答案.

【详解】

说法①：函数在每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：，而，不具有单调递减的性质；

说法②：当时，，所以函数的图象过定点是正确的；

说法③：如果中也存在一个为零时，就不符合，故本说法不正确；

说法④：，故本说法④正确，综上，本题的答案为②④.

【点睛】

本题考查了反比例函数的单调性．指数型函数的图象特点．零点的判断方法．指数不等式，本题容易弄错的是，函数在两个区间具有相同的单调性，就认为在两个区间的并在一起，还具有相同的单调性.

2．【答案】

【解析】设，则，则，根据新定义可得在上恒成立，即，分别构造函数，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出的范围.

【详解】

设，，，，

由题意知，在上恒成立．即在上恒成立．

，即，，

在上为增函数，，

在上为减函数，

，

故实数a的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查指数函数的性质．新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．

3．【答案】

【解析】利用函数的图像经过第二．三．四象限可得：，整理可得：，再利用指数函数的性质即可得解.

【详解】

因为函数的图像经过第二．三．四象限，

所以，解得：

又

又，所以，所以

所以，

所以的取值范围是

【点睛】

本题主要考查了指数函数的性质及计算能力．分析能力，还考查了转化能力，属于中档题。

4．【答案】

【解析】由题意结合指数函数的单调性求解不等式的解集即可.

【详解】

不等式即：，结合指数函数的单调性可得：，

即不等式的解集为.

【点睛】

本题主要考查指数函数的单调性，指数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．【答案】

【解析】“当x∈（﹣1，1）时，恒成立”等价于“当x∈（﹣1，1）时，恒成立”。

设，，则在区间（﹣1，1）上，函数的图象在函数图象的上方。

在坐标系内画出函数的图象，

由图象知，当时，需满足，即，解得；

当时，需满足，即，解得。

综上可得实数的取值范围为。

答案：。

点睛：解决函数的有关问题时要注意函数图象在解题中的应用，借助于函数的图象，可使解题过程变得简单．直观形象。所以在学习中要记住常见函数图象的形状，并能在解题时能准确画出它的图象，同时在解题中要根据函数图象的相对位置关系得到相关的不等式（组）进行求解。

6．【答案】

【解析】根据指数幂有极限的条件列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于，即极限存在，故，即，，，解得.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查指数幂有极限的条件，考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于中档题.

7．【答案】

【解析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．

【详解】

解：，，；

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．

8．【答案】

【解析】先利用指数函数的单调性得，再解一元二次不等式即可．

【详解】

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．

9．【答案】（-，5）

【解析】先求的值域,再解不等式得结果.

【详解】

解：设，则y的值域为（0，+∞），

即

【点睛】

本题考查了指数函数的值域，分式不等式的解法，属于基础题．

10．【答案】

【解析】推导出，利用分离参数得到，再由为非负整数，能求出实数的取值范围．

【详解】

存在非负整数使成立，

∴，∴，

∴存在非负整数使成立，

易知函数单调递增，当为非负整数，其最小值为，

∴，

∴实数的取值范围是，

故答案为.

【点睛】

本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式．不等式．指数性质等基础知识，考查推理论证能力．运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

11．【答案】

【解析】由可得图像所过的定点.

【详解】

当时，，故的图像过定点.

填.

【点睛】

所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过.我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的定点（两个定点之间有平移关系）.

12．【答案】(1,3)

【解析】指数函数图像恒过定点，令即可求出结果

【详解】

，

当即时，

函数的图像恒经过点

故答案为

【点睛】

本题主要考查了指数函数图像恒过定点问题，只需令指数位置等于零，然后求解出结果。

13．【答案】3

【解析】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，即可得出．

【详解】

由函数，且的反函数的图象过点，

可得：图象过点，

，

又，．

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．

14．【答案】

【解析】将化为，将方程化为，得到；结合余弦函数图象可求得.

【详解】

    ，即或

当时，，

当时，，

又，

，

方程的解集为：

故答案为：

【点睛】

本题考查指数基本运算．根据三角函数值求解角的问题；关键是能够结合余弦函数图象得到角的取值，同时能够根据将结果进行简化.

15．【答案】

【解析】根据指数函数单调性可得，解不等式求得结果.

【详解】

由得：，即

解得：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查不等式的求解问题，关键是能够根据指数函数单调性得到幂指数的不等关系，属于基础题.