北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质精练

【名师】3.3 对数函数y=logax的图象和性质-2同步练习

一．填空题

1．计算________.

2．函数的反函数是______．

3．已知，则的最小值是__________.

4．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.

5．函数在上是单调递增的，则实数的范围是_________．

6．函数的定义域是________．

7．给定，则使乘积为整数的称为“和谐数”，则在区间内的所有“和谐数”的和为_______.

8．在等比数列中，若，则＝________.

9．若函数，则________．

10．已知函数与互为反函数，并且函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是___________.

11．______.

12．已知x>0，y>0，且，则的最小值为_______.

13．求值________.

14．函数的定义域为________.

15．等于_________．

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】分析：由指数和对数的运算性质直接计算即可.

详解：原式.

故答案为：2.

2．【答案】

【解析】分析：根据得出关于的解析式 ，然后将与交换位置，则可得反函数的解析式，其定义域为原函数的值域.

详解：因为，则，所以的反函数为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查反函数的解析式求解，属于简单题，解答时，注意反函数的定义域与原函数的值域相同.

3．【答案】

【解析】分析：首先化简，利用对数运算性质可得，然后利用乘“”法，计算，然后根据基本不等式求解最小值即可.

详解：因为，又

所以，由基本不等式的性质，得

当且仅当时取等号.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：问题转化为可以取所有正数，且，由分类讨论和基本不等式可得.

详解：∵函数的值域为，

，且，

当时，，

故只需即可，

解不等式可得，

综上可得的取值范围为：且.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，涉及恒成立问题和基本不等式求最值，属中档题.

5．【答案】

【解析】分析：分析出内层函数为增函数，可得出外层函数为增函数，再由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：由于且，则内层函数在区间上为增函数 ，

由于函数在上是单调递增的，则外层函数为增函数，.

由题意可知，对任意的，恒成立，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键：

（1）对底数分类讨论；

（2）利用复合函数的单调性“同增异减”，并结合内层函数的单调性分析出外层函数的单调性；

（3）不要忽略了真数要恒大于零.

6．【答案】

【解析】分析：求出不等式的解可得函数的定义域.

详解：由题设可得即，故函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的定义域，一般从以下几个方面考虑：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次根号（，为偶数）中，；

（3）零的零次方没有意义；

（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

7．【答案】2026

【解析】分析：根据换底公式把代入并且化简，转化为为整数，即，，可求得区间内的所有“和谐数”的和.

详解：由换底公式：，

得

为整数，

∴，，

分别可取，

最大值，则最大可取10，

故所有“和谐数”的和为.

故答案为：2026.

【点睛】

考查数列的综合应用及对数的换底公式，把化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.

8．【答案】

【解析】分析：由等比数列性质得，再根据对数运算即可得答案.

详解：解：因为等比数列中，若，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列性质，对数运算，是基础题.

9．【答案】2

【解析】分析：由可得：，问题得解.

详解：由可得：

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了反函数的求法，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：根据函数间的关系求函数的解析式，再根据，求的值.

详解：因为函数与互为反函数，所以，

关于轴对称的函数是，

所以，解得：.

故答案为：

11．【答案】29

【解析】分析：根据指数．对数的运算性质可得结果.

详解：解：原式.

故答案为：29.

【点睛】

本题考查指数．对数的计算，属基础题.

12．【答案】

【解析】分析：由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案．

详解：由题意，

得：，

则（当且仅当时，取等号）．

故选：．

【点睛】

本题考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，是基础题．

13．【答案】

【解析】分析：直接利用指数与指数幂的运算．对数的运算求解即可.

详解：

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：根据函数有意义，得出不等式组，即可求解.

详解：由题意，要使函数有意义，则满足，

解得，即函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域的求解，以及指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

15．【答案】6

【解析】分析：根据指数和对数的运算性质计算即可.

详解：由题意，根据对数的运算性质，可得：

.

故答案为：6.