高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课时训练

【特供】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-1随堂练习

一．填空题

1．函数的函数值表示不超过x的最大整数，如[1. 6]=1，[2]=2，．若方程，且有一个实根，则a的取值范围为________．

2．已知集合，若则实数的取值范围是，其中= _______

3．函数的定义域是____________．

4．，，，则a，b，c从小到大的关系是________.

5．函数的值域为________.

6．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是_____.

7．函数的定义域是______.

8．函数在上为增函数，则a的取值范围为________.

9．函数的单调减区间是__________；已知函数的图象经过点，则__________.

10．若函数(，且)有最大值，且最大值不小于，则的取值范围为______.

11．函数的值域为________．

12．设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________．

13．已知函数，则值为______；若，则的最小值为______.

14．函数的单调递增区间是________

15．已知，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】[，1) ∪(1，)∪ (，]

【解析】方程，且有一个实根等价于函数

的图象有一个交点，画出函数的图象，根据函数

的性质分类讨论进行求解即可.

详解：方程，且有一个实根等价于函数

的图象有一个交点，画出函数的图象，如下图所示：

函数的定义域为，且恒过定点.

当时，当时，函数的图象有一个交点，解得，所以有；

当时，要想函数的图象有一个交点，只需满足：

或，解得(1，)或 (，]，

综上所述：a的取值范围为[，1) ∪(1，)∪ (，].

故答案为：[，1) ∪(1，)∪ (，]

【点睛】

本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.

2．【答案】4

【解析】详解：若，则，所以，中

【点睛】

对数函数的性质，集合的基本关系.

3．【答案】．

【解析】要使函数有意义需满足，解得，故函数的定义域是，故答案为.

点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1．分式函数分母不能为0；2．偶次根式下大于等于0；3．对数函数的真数部分大于0；4．0的0次方无意义；5．对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.

4．【答案】

【解析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数的取值范围，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据指数函数的性质，可得，

由对数函数的运算公式及性质，可得，

，且，

所以a，b，c从小到大的关系是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】函数的定义域为R，结合指数函数性质可知8x>0恒成立，则真数8x+1>1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域．

【详解】

根据对数函数的定义可知,真数8x +1>0恒成立，解得x∈R.

因此，该函数的定义域为R，

原函数是由对数函数y=log2t和t=8x+1复合的复合函数.

由复合函数的单调性定义(同増异减)知道，原函数在定义域R上是单调递增的.

根据指数函数的性质可知, 8x>0,所以, 8x+1>1，

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查复合函数的值域，先求中间函数的值域，再求目标函数的值域，属于基础题.

6．【答案】（0，log215）.

【解析】化简，然后求解不等式，可以转化求解.

【详解】

因为，

所以由得，解得，即；

易知函数为增函数，

因为，所以可得；

综上可得x的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查函数与反函数间的关系，互为反函数的两个函数图象关于直线对称，侧重考查转化化归的数学思想.

7．【答案】

【解析】根据对数的真数为正实数．非负实数有偶数方根．分式的分母不为零，再利用指数函数的单调性求解即可.

详解：由题意可知：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了求函数的定义域，考查了对数的定义，考查了数学运算能力.

8．【答案】

【解析】利用复合函数的单调性，对数函数．二次函数的性质，可得在上单调递减，可得，由此求得结果.

【详解】

令，则，且单调递减，

∵函数，

则在上单调递减，

∴对称轴，解得，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，对数函数．二次函数的性质，理解“同增异减”的本质是解题的关键，属于中档题.

9．【答案】    4 

【解析】首先求出函数的定义域，然后利用对数函数和二次函数的知识可求出的单调递减区间，由函数的图象经过点可直接求出.

详解：函数的定义域为

因为二次函数的开口向上，对称轴轴为

所以函数的单调减区间是；

因为函数的图象经过点，

所以，所以

故答案为：；4

【点睛】

求函数单调性时应先求函数的定义域.

10．【答案】

【解析】根据题意首先可得到，再求出内层函数的最小值，代入外层函数求最大值，可得，解不等式即可.

【详解】

因为的函数值可取到无穷大，

所以要函数(，且)有最大值，

则必有，

又的最小值为4，

所以，

又因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复合函数的值域问题，注意由内而外确定函数最值，是基础题.

11．【答案】

【解析】试题分析：根据，且为单调递减函数，可得结果.

详解：因为，且为单调递减函数，

所以，

所以函数的值域为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数函数的值域以及根据对数函数的单调性求对数型函数的值域，属于基础题.

12．【答案】

【解析】先求出函数的周期为7，再求的值.

详解：由题得，所以函数的周期为7，

.

故答案为

【点睛】

本题主要考查函数的周期和对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

13．【答案】2     

【解析】空一：，化简计算即可；

空二：由已知，又，两式相加，利用空一的结论计算可得的值，再利用基本不等式可得的最小值.

详解：解：由已知；

又①，

则②，

，

则①＋②可得，

，

，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：2；.

【点睛】

本题考查函数值的求法，考查对数的运算性质．基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

14．【答案】

【解析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.

详解：

当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，

故答案为：

【点睛】

本题考查复合函数单调性．对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．【答案】

【解析】根据对数的定义和运算法则即可求解．

详解：由可得

所以，，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．