北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质习题

【精编】3.3 对数函数y=logax的图象和性质-2课时练习

一．填空题

1．函数的图象恒过定点_________.

2．已知函数，其定义域为，若函数在其定义域内有反函数，则实数的取值范围是________

3．已知，求函数的最小值为________．

4．给出下列命题：（1）函数与函数的图象关于直线对称；（2）函数的最小正周期；（3）函数的图象关于点成中心对称图形；（4）函数，的单调递减区间是.其中正确的命题序号是__________.

5．函数的增区间是________；

6．函数的定义域是__________.

7．已知则恒过定点P的坐标为______________

8．已知（其中且）在区间上是减函数，则实数的取值范围________

9．下列说法中：

①命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”；

②“对于任意的，总有（为常数）”是“函数在区间上的最小值为”的必要不充分条件；

③若，，则函数满足；

④若，，，则函数满足．

所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）

10．光线通过某种玻璃时，强度损失，要使光线强度减弱到原来的以下，至少需要____________块这样的玻璃（参考数据）.

11．已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为______.

12．设，则______.

13．函数的反函数的图象过点，则的值为_________．

14．若，，则________.

15．已知函数，若，则实数的取值范围是__．

参考答案与试题解析

1．【答案】（2，8）

【解析】分析：根据对数函数过定点的性质，令真数等于1即可．

详解：因为

令即时，，

故函数的图象恒过定点，

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：由函数，其对称轴为，且开口向上，所以若，在为减函数，在为增函数，结合本题目给定的定义域进行分段讨论，从而可求出实数t的取值范围.

详解：函数，其对称轴为，且开口向上，

所以若，在为减函数，在为增函数，

 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；

 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；

 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是，

于是当或，即或时，

函数在定义域上满足一一对应关系，具有反函数．

综上，的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性．对称性．反函数，以及分段函数的定义域．值域等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.若要求一函数的反函数，首先要求出此函数的单调区间，最好求出对应的值域，然后在各个单调区间进行运算求解，并将x，y进行互换，定义域与值域互换，从而得到反函数.

3．【答案】

【解析】分析：由对数的运算性质可得，换元后结合二次函数的性质即可得解.

详解：函数，

令，则，

所以当即时，函数的最小值为，

所以函数的最小值为.

故答案为：.

4．【答案】（1）（3）（4）

【解析】分析：根据反函数的性质知（1）正确；由图象可知（2）错误；利用代入检验的方式可知（3）正确；利用整体对应法求得单调递减区间，对应到所给区间知（4）正确.

详解：（1）函数与函数互为反函数，

两函数图象关于直线对称，（1）正确；

（2）图象如下图所示：

由图象可知：的最小正周期为，（2）错误；

（3）当时，，

是的对称中心，是的对称中心，（3）正确；

（4）令，

解得：，

即的单调递减区间为，

当时，的单调递减区间为，（4）正确.

故答案为：（1）（3）（4）.

【点睛】

思路点睛：求解三角函数的单调区间．对称轴和对称中心的问题时，通常采用整体对应的方式，结合对应的正弦．余弦或正切函数的性质来求解；若判断所给结论是否为函数的对称轴或对称中心时，可采用代入检验的方式来判断.

5．【答案】

【解析】分析：根据复合函数的单调性判断函数的单调区间，注意函数的定义域.

详解：根据复合函数的单调性“同增异减”可知，外函数是单调递增，需要内函数在定义域内单调递增即可．由知，，由在的单调区间可知，在单增，单减．

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：根据对数真数大于零．偶次根式底数不小于零可构造不等式组求得结果.

详解：由题意得：，，解得：，

的定义域为.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：若过定点，则点的坐标与的取值无关，由对数的性质可知，令即可求出.

详解：由题意得：，所以，

当时，，

所以定点坐标是，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：由对数的底数大于0，可得内层函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可.

详解：是由，复合而成，

由题意知：，在区间上单调递增，

若函数（其中且）在区间上是减函数，

所以单调递减，可得：，

所以在上恒成立，

所以，解得：，

综上：，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题时要特别注意对数函数的定义域，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

9．【答案】②③④

【解析】分析：①直接利用命题的否定判断；

②函数的最小值和必要不充分条件的应用；

③对数的运算关系式的应用；

④根据基本不等式可得答案；

详解：①命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故①错误；

②“对于任意的，总有（为常数）”由于没有说明，所以“函数在区间上的最小值为”不一定成立；函数在区间上的最小值为，总有（为常数）成立，故②正确；

③若，，则函数满足，

所以成立，故③正确；

④若，，，，，

因为，所以，故④正确．

故答案为：②③④.

【点睛】

本题考查了命题的否定．函数的最小值和充分条件和必要条件的应用．对数的运算关系．不等式比较大小的问题.

10．【答案】

【解析】分析：设需要块这样的玻璃，根据题意可得出关于的不等式，求得的取值范围，进而可求得结果.

详解：设需要块这样的玻璃，由题意可得，可得，

而，

，因此，至少需要块这样的玻璃.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：分．两种情况讨论即可.

详解：由题意可得或解得或.

故答案为：

【点睛】

易错点睛：解答本题时容易忽略真数大于0这一隐含要求.

12．【答案】1

【解析】分析：根据指数式与对数式的互化，得到，，再结合对数的运算法则，即可求解.

详解：由，可得，，

所以.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：由题意得函数的反函数为，将点代入函数表达式中，可得出答案.

详解：由函数的反函数为

所以函数的图象过点，即，则

故答案为：

14．【答案】1

【解析】分析：根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出，再利用换底公式求出与，进行对数运算可求.

详解：又，

.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了指数与对数的互化，考查了对数的运算公式及换底公式，熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键.

15．【答案】

【解析】分析：首先判定函数的单调性，然后去掉中的“”，从而可求的范围．

详解：在上单调递增，且，

因为

或，

解得或；

故实数的取值范围为：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了利用函数的单调性解不等式，属于常考题．