必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课后测评

【精挑】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-1练习

一．填空题

1．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．

2．己知函数f(x)= ，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是____________.

3．若函数（且）的反函数的图像都过点，则点的坐标是________.

4．计算______．

5．函数的单调递增区间是_____.

6．函数的值域是__．

7．若，，且，则_________.

8．计算：______.

9．设,的图像与的图像关于直线对称,的图像由的图像向左平移个单位得到,则=__________．

10．函数的单调递减区间是_________.

11．函数的图象恒过定点，（其中且），则的坐标为__________.

12．，，，则a，b，c从小到大的关系是________.

13．函数（，且）的图象必过定点          ．

14．方程的实数解的个数为__________.

15．已知函数，若，则的取值范围是____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】(1，3)

【解析】试题分析：根据1的对数为零，令，即可得出结论.

详解：令，则，

所以函数过定点.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数的性质，属于基础题.

2．【答案】

【解析】结合函数f(x)= 的图象可判断的位置，即可得到的关系，将双变量a+4b转化为单变量，结合函数单调性即可求解.

详解：如图，作出函数f(x)= 的图象，由f(a)=f(b)得，所以，由对勾函数的单调性可知，函数 在上单调递减，故，即a+4b的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数函数的图象翻折．对数运算及利用函数单调性求值域，属于基础题.

3．【答案】

【解析】首先求出函数过的定点，再根据原函数与反函数图象关于对称即可求出点P的坐标.

详解：令得，此时，所以函数过定点，

所以函数（且）的反函数的图像都过点.

故答案为：

【点睛】

本题考查对数函数．对数函数的反函数，属于基础题.

4．【答案】0

【解析】由题意结合分数指数幂的运算．对数运算直接运算即可得解.

详解：由题意.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了分数指数幂及对数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍.

详解：记，

当单调递增时，单调递减，

由得或，

又当时，单调递减.

故．

故答案为：.

【点睛】

本题考查复合函数单调区间的求解，遵循“同增异减”的原则.

6．【答案】

【解析】设，转化为函数，，根据在上单调递增，可求解．

详解：设函数，

则函数，，

∵，在上单调递增，

∴当时，最小值为，

故答案为：.

【点睛】

本题考察了二次函数，对数函数性质，综合解决问题．

7．【答案】

【解析】平方等式得到，计算，根据范围得到答案.

详解：，则，故，

，，，故，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数运算，意在考查学生的计算能力和转化能力，没有考虑符号是容易发生的错误.

8．【答案】7

【解析】根据对数的运算法则和分数指数幂的运算法则可得正确的结果.

详解：原式.

【点睛】

本题考查对数的运算和分数指数幂的运算，注意分数指数幂的运算规则和整数指数幂的运算规则类似，而对数的运算规则可分成三大类：

①；

；

②；

③．

9．【答案】

【解析】根据函数的图像与的图像关于直线对称,求出,再根据平移求出,即可求得答案.

【详解】

根据的图像与的图像关于直线对称

的图像由的图像向左平移个单位得到

根据函数的左加右减可得:

故答案为:.

【点睛】

本题考查了函数的对称变换和平移变换,解题关键是掌握对称变换和平移变换的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

10．【答案】

【解析】令，则，在上递增，在上递减，而是增函数，原函数的递减区间为，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质．复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.

11．【答案】

【解析】利用对数函数过定点求解.

详解：令，解得 ，

所以 ，

所以 的坐标为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数型函数过定点问题，属于基础题.

12．【答案】

【解析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数的取值范围，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据指数函数的性质，可得，

由对数函数的运算公式及性质，可得，

，且，

所以a，b，c从小到大的关系是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数图象所过的定点即可.

【详解】

令x-2=1,得x=3，此时y=1，

故函数的图象恒过点，

故答案为：.

【点睛】

本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是1的对数等于零，从而求得结果，属于简单题.

14．【答案】个

【解析】构造函数，，，，画出图象判断交点个数即可判断方程解的个数．

详解：方程，

，，，，

函数图象的交点个数为：1个．

方程的实数解的个数为1.

故填：1个.

【点睛】

本题考查利用数形结合的思想，解决方程解的个数，关键是把方程的根的个数，转化为研究两个函数图象交点的个数．

15．【答案】

【解析】画出的图象，对进行讨论：，，，，，结合单调性解不等式，即可得到所求范围.

详解：函数的图象如图所示：

由于，

当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；

当，即时，函数递增，显然不合乎题意；

当，即，可得，

解得，

当，即有，

由题意可得，解得，

当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；

综上可得的范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了关于分段函数的不等式，考查了分类讨论思想以及学生的计算能力，有一定难度.