数学必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质同步测试题

【精选】3.3 对数函数y=logax的图象和性质-2作业练习

一．填空题

1．若函数是对数函数，则实数a的值是_______.

2．计算______.

3．已知函数，其中是实数．则函数的单调增区间为________．

4．函数的单调增区间为__．

5．若实数x，y满足，则的最小值为___________．

6．当x>0时，，则y=f(x)在内的单调增区间为_____.

7．已知，则＝_____.

8．函数的定义域是____________.

9．如果函数的图像与函数的图像关于对称，则的单调递增区间是_______________.

10．已知实数．满足，下列五个关系式：①，②，③，④，⑤.其中不可能成立的关系式有________个.

11．函数的图像恒过定点的坐标为_________.

12．已知，① ② ③  ④以上4个结论中正确的序号为________．

13．计算:_____.

14．计算：______

15．已知实数，满足，，则的最小值为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】3

【解析】分析：首先根据对数函数的概念得到，再解方程组即可.

详解：因为函数是对数函数，

所以.

故答案为：

2．【答案】5

【解析】分析：运用对数，指数的运算性质求解运算.

详解：

故答案为：5

3．【答案】

【解析】分析：按照．分类，结合对数函数．二次函数的单调性即可得解.

详解：当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递增；

所以函数的单调增区间为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了对数函数的单调区间，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：首先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性，求函数的增区间.

详解：由，得或．

函数的定义域为，，．

当时，内函数为减函数，

当时，内函数为增函数，

而外函数为减函数，

函数的单调递增区间为．

故答案为：．

5．【答案】

【解析】分析：由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案．

详解：由题意，

得：，

则（当且仅当时，取等号）．

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：由已知函数解析式求出时的函数解析式，由真数大于0得到的范围，再由复合函数的单调性求解．

详解：令，则，

当时，，

且．

或．

二次函数在上为减函数，在上为增函数，

而对数式在上为减函数，

在内的单调增区间为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．

7．【答案】

【解析】分析：根据指数与对数之间的关系,求出,利用对数的换底公式,即可求得答案.

详解：∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:是解本题的关键.属于基础题.

8．【答案】.

【解析】分析：根据分母不为零．真数大于零列不等式组，解得结果.

详解：由题意得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．【答案】

【解析】分析：由图象关于对称即有，结合二次函数．对数函数的单调性以及的定义域即可知的单调递增区间.

详解：由题意知：，且单调递减，

∴，定义域为，

而在上递增，在上递减，

∴根据复合函数的单调性知：在上单调递增，

故答案为：

【点睛】

本题考查了求复合函数的单调区间，综合应用反函数，二次函数．对数函数的性质求单调区间，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：设，可得出，，分．．三种情况讨论，利用幂函数在区间上的单调性可得出结论.

详解：设，可得，.

（1）当时， 由于幂函数在区间上为减函数，则，即，③成立；

（2）当时，则，⑤成立；

（3）当时，由于幂函数在区间上为增函数，则，

即，②成立.

因此，不可能成立的为①④.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用幂函数的单调性比较大小，同时也考查了对数式与指数式相互转化，属于中等题.

11．【答案】(1,2)

【解析】分析：令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标．

详解：令得：，

此时，

所以函数的图象恒过定点，

故答案为：．

12．【答案】①③④

【解析】分析：对所给结论利用函数的单调性及做差法比较即可.

详解：对于①，因为在R上单调递减，，所以，故①正确；

对于②，因为在R上单调递增，，所以，故②不正确；

对于③，，故③正确；

对于④，由②，，故④正确.

故答案为：①③④

13．【答案】2

【解析】分析：利用换底公式与指数幂的运算求解即可.

详解：

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查换底公式与指数幂的运算，属于基础题.

14．【答案】1

【解析】分析：根据指数运算律．对数运算律直接计算.

详解：原式.

故答案为：1

【点睛】

本题考查指数．对数的运算律，属于基础题.

15．【答案】4

【解析】分析：先根据已知条件可得，再根据基本不等式可求得结果.

详解：因为且，所以，即，

所以，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立，

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了对数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.